当AWS API Gateway的WebSockets API返回429错误时，表示达到了API的请求速率限制。这通常是因为在给定时间内发送了过多的请求。

为了解决此问题，您可以采取以下步骤：

1. 检查并调整请求速率：查看您的应用程序或客户端代码，并确保在给定时间内发送的请求量不会超过API Gateway的限制。您可以根据业务需求更改请求速率，或者考虑使用AWS的限制提高请求速率。

2. 实施重试和退避策略：在应用程序或客户端代码中实施重试和退避策略，以便在遇到429错误时自动重试。您可以使用指数退避策略，即在每次重试之间等待的时间逐渐增加，以避免过多请求。

以下是使用Python的示例代码，展示了如何实施重试和退避策略：

import time
import requests

def make_api_request():
    url = "https://your-api-gateway-url"

    retries = 3
    backoff_time = 1

    while retries > 0:
        response = requests.get(url)
        if response.status_code == 429:
            print("Rate limit exceeded. Retrying in {} seconds...".format(backoff_time))
            time.sleep(backoff_time)
            backoff_time *= 2
            retries -= 1
        elif response.status_code == 200:
            print("Request successful!")
            break
        else:
            print("Request failed with status code: {}".format(response.status_code))
            break

    if retries == 0:
        print("Exceeded maximum retries. Request failed.")

make_api_request()

请注意，上述代码仅作为示例，并且可能需要根据您的具体情况进行修改。

通过检查请求速率并实施重试和退避策略，您应该能够解决AWS API Gateway WebSockets API返回429错误。