解决此问题有两种方法。一种是使用Lambda函数来处理API Gateway请求，另一种则是使用常规的API Gateway服务。

1.使用Lambda函数来处理API Gateway请求

在这种解决方案中，您将使用AWS Lambda函数来处理您的API Gateway请求，而不是直接将请求发送到API Gateway服务。这样做的好处是，您可以控制请求的处理方式并且可以避免贪婪路径占用静态路由的问题。以下是示例代码：

import json

def lambda_handler(event, context):
    path = event['path']
    if path == '/pets':
        return get_pets()
    elif '/pets/' in path:
        pet_id = path.split('/')[-1]
        return get_pet(pet_id)
    else:
        return not_found()

def get_pets():
    # ...
    return {
        'statusCode': 200,
        'body': json.dumps(pets)
    }

def get_pet(pet_id):
    # ...
    return {
        'statusCode': 200,
        'body': json.dumps(pet)
    }

def not_found():
    return {
        'statusCode': 404,
        'body': 'Not found'
    }

在上面的代码中，我们使用Lambda函数来处理请求。如果请求路径为“/pets”，则调用“get_pets”函数来处理请求。如果路径中包含“/pets/”，则取出pet_id参数并调用“get_pet”函数获取对应的宠物数据。如果请求路径不匹配任何定义的路径，则返回404错误。

请注意，这种解决方案依赖于您以响应式的方式处理API Gateway请求。您需要针对您的API定义正确的模式来处理请求，并确保在其中正确地处理“贪婪”路径。

2.使用常规的API Gateway服务

另一种解决方案是利用AWS API Gateway的模式匹配功能，定义正确的路径模式。例如，您可以创建一个路径匹配模式为“/pets/{pet_id}”的资源，并将其映射到一个Lambda函数。

在这种解决方案中，您需要遵循AWS API Gateway的最佳实践和API Gateway的路径匹配规则来正确配置您的API。请参阅AWS官方文档以获取更多信息。