在AWS API Gateway中，我们可以使用API Gateway的WebSocket功能来创建WebSocket连接。如果我们希望在客户端连接成功时，仅返回一次有关WebSocket连接的初始信息，我们可以使用AWS API Gateway提供的send()函数来实现这个功能。

以下是一个示例代码，展示如何在成功连接后仅发送一次初始信息：

import json

def lambda_handler(event, context):
connection_id = event['requestContext']['connectionId']

# 只有当连接事件发生时，我们才发送初始消息 
if event['requestContext']['eventType'] == 'CONNECT':
    
    # 发送初始消息
    initial_message = {'message': 'WebSocket连接已成功建立！'}
    message_string = json.dumps(initial_message)
    endpoint_url = 'https://' + event['requestContext']['domainName'] + '/' + event['requestContext']['stage']
    header = {'Content-Type': 'application/json', 'X-API-Key': 'YOUR_API_KEY'}
    
    api_client = boto3.client('apigatewaymanagementapi', endpoint_url=endpoint_url, region_name='REGION_NAME',
              aws_access_key_id='AWS_ACCESS_KEY', aws_secret_access_key='AWS_SECRET_ACCESS_KEY')
              
    response = api_client.post_to_connection(ConnectionId=connection_id, Data=message_string.encode('utf-8'))

# 这里是处理传入的消息的逻辑
handle_message(event, context)

return {'statusCode': 200, 'body': 'Connected.'}

请注意，以上代码假定您已将REST API与WebSocket集成，并通过使用AWS Lambda来处理WebSocket消息。代码仅在连接事件时发送初始消息，并在handle_message()函数中处理传入的消息。