矩阵论复习提纲

第一章 矩阵相似变化

1、特征值与特征向量

• A ∈ C^nxn 若存在 λ ∈ C 满足 Ax = λx 则 λ 为 A 的特征值
  可转换为 （λI - A）x = 0
  特征多项式 ：det(λI - A)
  特征矩阵： λI - A

2、相似对角化

1. 判断可对角化&求相似变换矩阵

2. 计算对角化

3、Jordan标准形

J_i 除开主对角线上有只，其上对角线上的元素只能是1或0

1. 求Jordan标准形（线性法-只限于3阶）

2. 求非可对角化但可Jordan标准化的矩阵的相似变换矩阵

• 例1

• 例2

第二章 范数理论

1、向量范数

1. 范数计算

• ||x||₁ 范数
  

• ||x||₂ 范数
  

• ||x||_∞ 范数
  

例题：

2. 范数证明

• 证明模板：
  

例题：

2、矩阵范数

1. 范数计算

• ||A||_m1 范数
  
• ||A||_F 范数
  
• ||A||_m∞ 范数
  
  其他矩阵范数
• ||A||₁ 范数、||A||₂ 范数、||A||_∞ 范数
  
  总结：
  

例题：

2. 范数证明

• 证明模板
  

例题：

第三章 矩阵分析

1、矩阵序列

• 可以利用矩阵范数来研究矩阵序列的极限
  设 A ∈ C^nxn，则A为收敛矩阵的充分必要条件是 ρ（A）< 1
  ρ（A）是A的某一矩阵范数
  推论： 设 A ∈ C^nxn 若对 C^nxn 上的某一矩阵范数 ||·|| 有 ||A||，则A为收敛矩阵.

例题：

第（1）题使用的是判别 ||A||₂ = （5/6）^(1/2) < 1
第（2）题使用的是判别 ||A||₁ = max{0.8, 0.9, 0.8} < 1

例题：

2、矩阵级数

1、矩阵级数

• 定义：
  

例题：

2、矩阵幂级数

定义：

例题：

3、矩阵函数

4、矩阵微分积分

第四章 矩阵分解

1、矩阵的三角分解

2、矩阵的QR分解

3、矩阵的满秩分解

第五章 特征值的估计和表示

1、特征值界估计

2、Gerschgorin定理

3、广义特征值问题

第六章 广义逆矩阵

1、Moore-Penrose 逆A⁺ 计算

2、A⁺在解线性方程组中的应用