题目描述

原题链接：312. 戳气球

解题思路

（1）回溯法

很多求最值实际上就是穷举所有情况，对比找出最值。因为不同的戳气球顺序会产生不一样的结果，所以实际上这就是一个全排列问题。

class Solution {
public:int res = 0;void backtracking(vector& nums, int ballonNum, int score) {// 全戳完后找最大方案if(ballonNum == 0) {res = max(res, score);}for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {// 获取分数int point = nums[i];if(i - 1 >= 0)              point *= nums[i - 1];if(i + 1 < nums.size())     point *= nums[i + 1];// 移除此位置int temp = nums[i];nums.erase(nums.begin() + i);// 向下探查backtracking(nums, ballonNum - 1, score + point);// 回溯恢复nums.insert(nums.begin() + i, temp);}}int maxCoins(vector& nums) {backtracking(nums, nums.size(), 0);return res;}
};

此方式会超时

（2）动态规划

此题和其他动态规划题的一个区别就是，i、i+1、i-1相互有关，而动态规划算法使用的一个重要条件就是子问题需要相互独立。因此，为了可以使用动态规划，需要巧妙地定义dp数组，避免子问题产生相关性。因为，戳到最后时，也会左右乘上1，因此我们让nums的前后都加上1。

• 动态规划五部曲：

（1）dp[i][j]含义：
在i - 1到j - 1中可得到的最大硬币数（因为首尾新增了两个数，因此不戳首尾按开区间算）。

（2）递推公式：
我们如果正向思考的话就是回溯算法那种形式，那么我们再换一种方式，逆向思考计算戳的是最后一个气球时，得到的金币数量，此时递推公式就变为：dp[i]][j] = nums[i] * nums[k] * nums[j] + dp[i][k] + dp[k][j]，其中(i < k < j)为开区间。

（3）dp数组初始化：
dp[0][0] = dp[0][1] = 0，因为最少需由三个数组成，因此i=0，j=0,1时都为非法形式，初始化为0即可。

（4）遍历顺序：
从下到上，从左到右。每次求到k时，需要i-k和k-j的信息，因此从下到上，可以保证有k-j的信息，从左到右可以保证有i-k的信息。

（5）举例： （省略）

class Solution {
public:int maxCoins(vector& nums) {// 首尾添加1nums.insert(nums.begin(), 1);nums.push_back(1);int n = nums.size();vector> dp(n, vector(n, 0));// 从n-2开始，相当于从原nums数组中的最后一个位置开始for(int i = n - 2; i >= 0; i--) {// 从i+2开始，留出i+1给kfor(int j = i + 2; j <= n - 1; j++) {// k在i和j中尝试for(int k = i + 1; k < j; k++) {dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j] + \nums[i] * nums[k] * nums[j]);}}}return dp[0][n - 1];}
};

参考文章：动态规划套路解决戳气球问题、戳气球