在之前的文章中，我们已经详尽讨论过FMCW雷达测距和测速的原理，现在来讲最后一块内容，测角。测角对于硬件设备具有要求，即要求雷达具有多发多收结构，从而形成多个空间信道（channel），我们正是利用这些channel间的差异性来完成对目标的测角。

本节讲述通用的Angle FFT测角的原理。

天线阵列

在一个具有多发多收的天线结构中，我们可以得到一个天线阵列（array）。一个Tx-Rx就构成了一个空间信道。

设相邻的两个天线之间排布间距为ddd，到达角（angle of arrival，AoA）为 θ\thetaθ，则相邻的两个天线之间会产生一个固定的光程差 dsin⁡θd \sin \thetadsinθ，这个固定的光程差会造成相邻两个信道间接收回波固定的相位差。即
dsin⁡θλ=Δϕ2π\frac{d \sin \theta}{\lambda}=\frac{\Delta \phi}{2\pi} λdsinθ​=2πΔϕ​
于是我们就有
sin⁡θ=λ2πdΔϕ\sin\theta = \frac{\lambda}{2 \pi d} \Delta \phi sinθ=2πdλ​Δϕ

最大测量角度

由于
−π<Δϕ<π-\pi<\Delta \phi < \pi −π<Δϕ<π
所以最大测量角度为
θmax

取天线阵列间距为λ2\frac{\lambda}{2}2λ​时，就可得此时测量达到达到角的范围正好在±90°，即

−1 −90∘<θ<90∘-90 ^{\circ} < \theta < 90^{\circ} −90∘<θ<90∘

但值得注意的是，虽然sin⁡θ\sin \thetasinθ与我们的Δϕ\Delta \phiΔϕ成正比，但由于sin⁡θ\sin \thetasinθ 函数本身的非线性，θ\thetaθ 在角度小时对Δϕ\Delta \phiΔϕ更敏感，或者说：在低角度范围（如AoA±30°）内测角的精度（或区分度）更高。

可以看下面的函数图来有一个直观的认识：当我们在sin⁡θ\sin \thetasinθ轴取均匀标度，在θ\thetaθ 轴上的标度随角度的增加是越来越粗的。

相位差的周期性

在之前 测速 的文章中，我们已经讨论过相位差的周期性，及其基于数字域角分辨率下的FFT结果。那么，现在由于N个信道所造成的固定相位差，同样也会形成这个一个相位差的周期性。

借用一幅TI教程的示意图，我们此时对在同一range bin中且又在同一 velocity bin中的两个运动物体进行区分，那么，如果其AoA不同，我们就可以借由 angle FFT 来完成对这两个运动物体的区分。

角度分辨率

看得出来，此处的推导与测速中的推导相近。在数字域上的角速度分辨率为
Δω=2πNradians/sampleΔω= \frac{2 \pi}{N} radians/sample Δω=N2π​radians/sample
其中N为FFT的点数，继续令Δϕ=w\Delta \phi = wΔϕ=w，则
sin⁡(θ+Δθ)−sin⁡(θ)=λ2πd(Δw+w)−λ2πdw=λ2πdΔw\sin(\theta + \Delta \theta) -\sin(\theta) = \frac{\lambda}{2 \pi d}(\Delta w +w) - \frac{\lambda}{2 \pi d}w = \frac{\lambda}{2 \pi d}\Delta w sin(θ+Δθ)−sin(θ)=2πdλ​(Δw+w)−2πdλ​w=2πdλ​Δw

根据导数的定义，我们有
sin⁡(θ+Δθ)−sin⁡(θ)Δθ=cos⁡θ\frac{ \sin(\theta + \Delta \theta) -\sin(\theta) }{\Delta \theta}= \cos \theta Δθsin(θ+Δθ)−sin(θ)​=cosθ
于是，可进一步推得
cos⁡(θ)Δθ=λ2πdΔw\cos (\theta) \Delta \theta = \frac{\lambda}{2 \pi d}\Delta w cos(θ)Δθ=2πdλ​Δw
Δθ=λ2πdcos⁡(θ)Δw=λNdcos⁡(θ)\Delta \theta = \frac{\lambda}{2 \pi d \cos (\theta) }\Delta w=\frac{\lambda}{N d \cos (\theta) } Δθ=2πdcos(θ)λ​Δw=Ndcos(θ)λ​
这里同样可对之前低角度范围内测角的精度（或区分度）更高的原因做出解释：cos⁡θ\cos \thetacosθ在低角度时值更大，使得此时的 Δθ\Delta \thetaΔθ 有着更细微的取值。

如果取天线阵列间距为 λ2\frac{\lambda}{2}2λ​ ，且设 θ=0\theta = 0θ=0，就可以得到通常定义下的最精细的角度分辨率为
θres=2N\theta_{res} = \frac{2}{N} θres​=N2​
可见其将受限于能够完成多发多收的天线数量。