约瑟夫森效应

约瑟夫森理论

约瑟夫森方程

（1）每一个库柏对都可视为质量为2m、电量为2e的复合载流子，定向运动速度v就是库柏相对质心的速度。处于超导态的库柏对凝聚于同一量子态，运载电流时具有完全相同的动量P。用微观波函数来描述所有库柏对的运动，即
ψ=nc1/2exp(iϕ)\begin{align} \psi=\sqrt[1/2]{n_c}exp(i\phi) \end{align} ψ=1/2nc​​exp(iϕ)​​
式中，n_c=ΨΨ^*表示库柏对的体密度，φ是波函数的相位。根据量子力学，波函数Ψ满足下面的薛定谔方程
iℏ∂ψ∂t=EΨ\begin{align} i \hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=E\Psi \end{align} iℏ∂t∂ψ​=EΨ​​
其中，ℏ\hbarℏ是普朗克常量，ℏ\hbarℏ=h/2π，E是量子态的能量。
（2）随着约瑟夫森结一端的库柏对数量的增加，与此相对应，约瑟夫森结另一端的库柏对数量减少，由此可求得流过隧道结的超导电流密度为
Js=JcsinΔϕ=2e∂nc1∂t\begin{align} J_s=J_c sin\Delta\phi=2e\frac{\partial n_{c_1}}{\partial t} \end{align} Js​=Jc​sinΔϕ=2e∂t∂nc1​​​​​
式中，2e为库柏对两个电子，并有
Js=2Kℏ2enc1nc2\begin{align} J_s=\frac{ 2K}{\hbar} 2e\sqrt{n_{c_1}n_{c_2}} \end{align} Js​=ℏ2K​2enc1​​nc2​​​​​
J_c称为隧道结的临界电流密度，K是与隧道结特性有关的常数，ncn_cnc​为库柏对的体密度
位相差随时间的变化率为
∂Δϕ∂t=2eV0ℏ\begin{align} \frac{\partial\Delta\phi}{\partial t}=\frac{2eV_0}{\hbar} \end{align} ∂t∂Δϕ​=ℏ2eV0​​​​
（3）实际上，除电位差V0V_0V0​造成位相差的时间变化外，磁场也将造成位相差的空间变化。磁场可以穿过势垒层，由于绝缘层厚度为d，磁场对超导体还有一个穿透深度λ\lambdaλ，所以存在的磁场宽度为Λ=2λ+d\Lambda=2\lambda+dΛ=2λ+d。磁场和空间的位相差的关系满足下列表达式
∂Δϕ∂x=2eΛℏBy\begin{align} \frac{\partial\Delta\phi}{\partial x}=\frac{2e\Lambda}{\hbar}B_y \end{align} ∂x∂Δϕ​=ℏ2eΛ​By​​​
∂Δϕ∂y=2eΛℏBx\begin{align} \frac{\partial\Delta\phi}{\partial y}=\frac{2e\Lambda}{\hbar}B_x \end{align} ∂y∂Δϕ​=ℏ2eΛ​Bx​​​
(3)完整的约瑟夫森方程
超导电流的计算：
Js=JcsinΔϕ\begin{align} J_s=J_c sin\Delta\phi \end{align} Js​=Jc​sinΔϕ​​
位相差随时间变化
∂Δϕ∂t=2eV0ℏ\begin{align} \frac{\partial\Delta\phi}{\partial t}=\frac{2eV_0}{\hbar} \end{align} ∂t∂Δϕ​=ℏ2eV0​​​​
磁场影响位相差的空间变化
∂Δϕ∂x=2eΛℏBy\begin{align} \frac{\partial\Delta\phi}{\partial x}=\frac{2e\Lambda}{\hbar}B_y \end{align} ∂x∂Δϕ​=ℏ2eΛ​By​​​
∂Δϕ∂y=2eΛℏBx\begin{align} \frac{\partial\Delta\phi}{\partial y}=\frac{2e\Lambda}{\hbar}B_x \end{align} ∂y∂Δϕ​=ℏ2eΛ​Bx​​​

直流约瑟夫森效应

定理：当结两端电压为零时，两个超导体波函数的位相差与时间无关，即可以存在一个超导电流，超导电流的大小由结两端电子对波的位相差决定，其临界电流密度为JsJ_sJs​。