乘法逆元

文章目录

• 乘法逆元
• • 一、模运算的性质
  • 二、除法的模运算
  • • 1、除法模运算
    • 2、解决除法模运算问题
  • 三、乘法逆元
  • • 1、定义
    • 2、**逆元是干什么的呢**
  • 四、求解逆元
  • • • 1、费马小定理
      • 2、扩展欧几里得
  • 五、参考文献

一、模运算的性质

• ( a + b ) % p = ( a % p + b % p) % p
• ( a + b ) % p =( ( a % p + b % p ) % p + p ) % p

注意：此处与上一个不一样，(9-7)%8=(9%8-7%8)%8=-6 ;不是我们要的值，这时要加上p

• ( a * b ) % p = ( ( a % p ) * ( b % p ) ) % p

二、除法的模运算

1、除法模运算

​ (a/b)%p=(a%p)/(b%p) ,如果我们保证可以整除，它是否成立呢？

取a=8,b=2,p=6; 左式=4，右式=1；也就是说 除法的模运算不一定成立。

2、解决除法模运算问题

​ 能否将除法转化为乘法？找到 binv ,使得 （a/b）%p==(a∗binv)%p（a/b）\%p==(a*b_{inv})\%p（a/b）%p==(a∗binv​)%p ；若能，则称 binvb_{inv}binv​为 b在模p意义下 的乘法逆元 ；

三、乘法逆元

1、定义

​ 若在mod p意义下，对于一个整数a，有(a∗b)(a*b)%p=1(a∗b)，那么这个整数b即为a的 乘法逆元，同时a也为b的乘法逆元。一个数有逆元的充分必要条件是gcd(a,p)=1，此时a才有对p的乘法逆元。

2、逆元是干什么的呢

​ 首先对于除法取模不成立，即$ (a/b)%p!=(a%p)/(b%p)$。显然数学家们是不能忍受这种局面的，他们扔出了“逆元”来解决这个问题。因为取模运算对于乘法来说是成立的，逆元就是把除法取模运算转化为乘法取模运算。
(a/b)%p=m(1)(a×x)%p=m(2)(a/b)\%p=m (1)\\ (a \times x)\%p=m (2) (a/b)%p=m(1)(a×x)%p=m(2)
（1）模运算对乘法成立，对①式左右两边同时乘以b，得到
a%p=(m×b)%pa\%p=(m \times b)\%p a%p=(m×b)%p
（2）如果a和b均小于模数p的话，上式得到：
a=m×ba = m \times b a=m×b
（3）等式两边同时乘以xxx，联立②式得到：
(a×x)%p=m%p=(m×b×x)%p(b×x)%p=1(a \times x)\%p = m\%p=(m \times b \times x )\%p \\ (b \times x)\%p = 1 (a×x)%p=m%p=(m×b×x)%p(b×x)%p=1
即x就是b的逆元。（根据逆元的定义可知）总结：求取(a/b)(a/b)%p(a/b)等同于求取a×(b的逆元)a \times (b的逆元)%pa×(b的逆元)，因此，求模运算的除法问题就转化为求解一个数的逆元问题。

四、求解逆元

求解一个数的逆元有两种方法：费马定理和扩展欧几里得

1、费马小定理

因为在算法竞赛中模数p总是质数，所以可以使用费马小定理。
bp−1%p=1b^{p-1}\%p=1 bp−1%p=1
可以得到b×bp−2%=1b \times b^{p-2}\%=1b×bp−2%=1，所以bp−2b^{p-2}bp−2是b在mod p条件下的逆元。

public class PowUtil {public static Long quickPow(Long a,Long n,Long p){//结果Long res = 1L;while (n != 0) {//判断 n 的二进制的最后一位是否为0if((n&1)!=0){//当n的二进制最后一位为1时，乘以当前的权重res = (res*a)%p;}//更新n，每次n向右移一位n = n >> 1;//更新每一位的权重a = (a*a)%p;}return res;}}public class InverseElement {/*** 利用b^(n-1)%p=1求解b的逆元* @param a 质数* @param p 模数* @return a的逆元*/public static Long inverseElement(Long a,Long p){//quickPow()是快速幂函数return PowUtil.quickPow(a,p-2,p);}}

2、扩展欧几里得

（1）扩展欧几里得算法：求ax+by=gcd(a,b)的一组x,y

（2）求a在模p意义下的乘法逆元：
(a×ainv)%p=1a×ainv+p×y=1gad(a,p)=1(a \times a_{inv})\%p=1 \\ a \times a_{inv} + p \times y = 1\\ gad(a,p)=1 (a×ainv​)%p=1a×ainv​+p×y=1gad(a,p)=1

代码展示

void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)    //拓展欧几里得算法
{if(!b) x = 1, y = 0;else{exgcd(b, a % b, y, x);y -= x * (a / b);}
}ll niyuan(ll a, ll b)   //求a对b取模的逆元
{ll x, y;exgcd(a, b, x, y);return (x + b) % b;
}

五、参考文献

[1] 乘法逆元超详解

[2]乘法逆元