由线性时变系统x˙(t)=A(t)x(t)\dot{x}(t) = A(t)x(t)x˙(t)=A(t)x(t),使用状态转移矩阵进行描述,有
x(t)=Φ(t,t0)x(t0)x(t) = \Phi(t,t_0)x(t_0) x(t)=Φ(t,t0)x(t0)
当且仅当对于正常数kkk和λ\lambdaλ,状态转移矩阵满足不等式
∣∣Φ(t,t0)∣∣≤ke−λ(t−t0),∀t≥t0≥0||\Phi(t,t_0)|| \leq k e^{-\lambda (t-t_0)}, \forall t \geq t_0 \geq 0 ∣∣Φ(t,t0)∣∣≤ke−λ(t−t0),∀t≥t0≥0
时,系统的平衡点x=0x=0x=0是(全局)一致渐近稳定的。
设x=0x=0x=0是系统的指数稳定平衡点。假设A(t)A(t)A(t)连续且有界,设Q(t)Q(t)Q(t)是连续且有界的正定对称矩阵,那么存在一个连续可微的正定对称矩阵P(t)P(t)P(t)满足方程
−P˙(t)=P(t)A(t)+AT(t)P(t)+Q(t)-\dot{P}(t)=P(t)A(t)+A^T(t)P(t)+Q(t) −P˙(t)=P(t)A(t)+AT(t)P(t)+Q(t)
因此,V(t,x)=xTP(t)xV(t,x)=x^TP(t)xV(t,x)=xTP(t)x是系统的李雅普诺夫函数,满足定理4.10的条件。
设x=0x=0x=0是非线性系统
x˙=f(t,x)\dot{x} = f(t,x) x˙=f(t,x)
的一个平衡点,其中f:[0,∞)×D→Rnf:[0,\infty) \times D \rightarrow R^nf:[0,∞)×D→Rn连续可微,D={x∈Rn∣∣∣x∣∣2
如果原点是线性系统x˙=A(t)x\dot{x}=A(t)xx˙=A(t)x的指数稳定平衡点,则它对非线性系统也是指数稳定平衡点。
设x=0x=0x=0是非线性系统x˙=f(t,x)\dot{x}=f(t,x)x˙=f(t,x)的平衡点,其中f:[0,∞)×D→Rnf:[0,\infty)\times D \rightarrow R^nf:[0,∞)×D→Rn连续可微,D={x∈Rn∣∣∣x∣∣2
于是,存在一个连续可微函数V:[0,∞)×D0→RV:[0, \infty) \times D_0 \rightarrow RV:[0,∞)×D0→R满足不等式
c1∣∣x∣∣2≤V(t,x)≤c2∣∣x∣∣2c_1 ||x||^2 \leq V(t,x) \leq c_2 ||x||^2 c1∣∣x∣∣2≤V(t,x)≤c2∣∣x∣∣2
∂V∂t+∂V∂xf(t,x)≤−c3∣∣x∣∣2\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{\partial V}{\partial x} f(t, x) \leq -c_3 ||x||^2 ∂t∂V+∂x∂Vf(t,x)≤−c3∣∣x∣∣2
∣∣∂V∂x∣∣≤c4∣∣x∣∣||\frac{\partial V}{\partial x}|| \leq c_4 ||x|| ∣∣∂x∂V∣∣≤c4∣∣x∣∣
其中c1c_1c1,c2c_2c2,c3c_3c3,c4c_4c4是正常数。此外如果r=∞r=\inftyr=∞和原点是全局指数稳定的,那么V(t,x)V(t,x)V(t,x)在RnR^nRn上有定义,且满足就上述不等式。进一步,如果系统是自治的,则可选择VVV与ttt无关。
设x=0x=0x=0是非线性系统x˙=f(t,x)\dot{x}=f(t,x)x˙=f(t,x)的平衡点,其中f:[0,∞)×D→Rnf:[0,\infty)\times D \rightarrow R^nf:[0,∞)×D→Rn连续可微,D={x∈Rn∣∣∣x∣∣2
那么,当且仅当x=0x=0x=0是线性系统x˙=A(t)x\dot{x}=A(t)xx˙=A(t)x的指数稳定平衡点时,它也是非线性系统的指数稳定平衡点。