非线性系统【五】|线性时变系统和线性化，逆定理

由线性时变系统x˙(t)=A(t)x(t)\dot{x}(t) = A(t)x(t)x˙(t)=A(t)x(t)，使用状态转移矩阵进行描述，有
x(t)=Φ(t,t0)x(t0)x(t) = \Phi(t,t_0)x(t_0) x(t)=Φ(t,t0​)x(t0​)

定理4.11

当且仅当对于正常数kkk和λ\lambdaλ，状态转移矩阵满足不等式
∣∣Φ(t,t0)∣∣≤ke−λ(t−t0),∀t≥t0≥0||\Phi(t,t_0)|| \leq k e^{-\lambda (t-t_0)}, \forall t \geq t_0 \geq 0 ∣∣Φ(t,t0​)∣∣≤ke−λ(t−t0​),∀t≥t0​≥0
时，系统的平衡点x=0x=0x=0是（全局）一致渐近稳定的。

定理4.12

设x=0x=0x=0是系统的指数稳定平衡点。假设A(t)A(t)A(t)连续且有界，设Q(t)Q(t)Q(t)是连续且有界的正定对称矩阵，那么存在一个连续可微的正定对称矩阵P(t)P(t)P(t)满足方程
−P˙(t)=P(t)A(t)+AT(t)P(t)+Q(t)-\dot{P}(t)=P(t)A(t)+A^T(t)P(t)+Q(t) −P˙(t)=P(t)A(t)+AT(t)P(t)+Q(t)
因此，V(t,x)=xTP(t)xV(t,x)=x^TP(t)xV(t,x)=xTP(t)x是系统的李雅普诺夫函数，满足定理4.10的条件。

定理4.13

设x=0x=0x=0是非线性系统
x˙=f(t,x)\dot{x} = f(t,x) x˙=f(t,x)
的一个平衡点，其中f:[0,∞)×D→Rnf:[0,\infty) \times D \rightarrow R^nf:[0,∞)×D→Rn连续可微，D={x∈Rn∣∣∣x∣∣2x∈Rn∣∣∣x∣∣2​ A(t)=∂f∂x(t,x)∣x=0A(t) = \frac{\partial f}{\partial x} (t,x)|_{x=0} A(t)=∂x∂f​(t,x)∣x=0​
如果原点是线性系统x˙=A(t)x\dot{x}=A(t)xx˙=A(t)x的指数稳定平衡点，则它对非线性系统也是指数稳定平衡点。

定理4.14

设x=0x=0x=0是非线性系统x˙=f(t,x)\dot{x}=f(t,x)x˙=f(t,x)的平衡点，其中f:[0,∞)×D→Rnf:[0,\infty)\times D \rightarrow R^nf:[0,∞)×D→Rn连续可微，D={x∈Rn∣∣∣x∣∣2x∈Rn∣∣∣x∣∣2​x∈Rn∣∣∣x∣∣ ∣∣x(t)∣∣≤k∣∣x(t0)∣∣e−λ(t−t0),∀x(t0)∈D0,∀t≥t0≥0||x(t)|| \leq k ||x(t_0)||e^{-\lambda (t-t_0)},\forall x(t_0) \in D_0,\forall t \geq t_0 \geq 0 ∣∣x(t)∣∣≤k∣∣x(t0​)∣∣e−λ(t−t0​),∀x(t0​)∈D0​,∀t≥t0​≥0
于是，存在一个连续可微函数V:[0,∞)×D0→RV:[0, \infty) \times D_0 \rightarrow RV:[0,∞)×D0​→R满足不等式
c1∣∣x∣∣2≤V(t,x)≤c2∣∣x∣∣2c_1 ||x||^2 \leq V(t,x) \leq c_2 ||x||^2 c1​∣∣x∣∣2≤V(t,x)≤c2​∣∣x∣∣2
∂V∂t+∂V∂xf(t,x)≤−c3∣∣x∣∣2\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{\partial V}{\partial x} f(t, x) \leq -c_3 ||x||^2 ∂t∂V​+∂x∂V​f(t,x)≤−c3​∣∣x∣∣2
∣∣∂V∂x∣∣≤c4∣∣x∣∣||\frac{\partial V}{\partial x}|| \leq c_4 ||x|| ∣∣∂x∂V​∣∣≤c4​∣∣x∣∣
其中c1c_1c1​,c2c_2c2​,c3c_3c3​,c4c_4c4​是正常数。此外如果r=∞r=\inftyr=∞和原点是全局指数稳定的，那么V(t,x)V(t,x)V(t,x)在RnR^nRn上有定义，且满足就上述不等式。进一步，如果系统是自治的，则可选择VVV与ttt无关。

定理4.15

设x=0x=0x=0是非线性系统x˙=f(t,x)\dot{x}=f(t,x)x˙=f(t,x)的平衡点，其中f:[0,∞)×D→Rnf:[0,\infty)\times D \rightarrow R^nf:[0,∞)×D→Rn连续可微，D={x∈Rn∣∣∣x∣∣2x∈Rn∣∣∣x∣∣2​ A(t)=∂f∂x(t,x)∣x=0A(t)=\frac{\partial f}{\partial x}(t,x)|_{x=0} A(t)=∂x∂f​(t,x)∣x=0​
那么，当且仅当x=0x=0x=0是线性系统x˙=A(t)x\dot{x}=A(t)xx˙=A(t)x的指数稳定平衡点时，它也是非线性系统的指数稳定平衡点。