Arnoldi迭代是一种用于求解实对称或复对称矩阵的特征值和特征向量的迭代方法。尽管维基百科上的示例可能仅包含实矩阵的情况,但Arnoldi迭代也适用于复矩阵。
下面是一个用Python实现Arnoldi迭代的示例代码:
import numpy as np
def arnoldi_iteration(A, b, k):
m, n = A.shape
H = np.zeros((k+1, k), dtype=np.complex128)
Q = np.zeros((m, k+1), dtype=np.complex128)
Q[:, 0] = b / np.linalg.norm(b)
for j in range(k):
v = A @ Q[:, j]
for i in range(j+1):
H[i, j] = np.conj(Q[:, i]) @ v
v = v - H[i, j] * Q[:, i]
H[j+1, j] = np.linalg.norm(v)
if H[j+1, j] == 0:
break
Q[:, j+1] = v / H[j+1, j]
return Q[:, :j+1], H[:j+1, :j]
# 示例用法
A = np.array([[1, 2], [3, 4]], dtype=np.complex128)
b = np.array([1, 1], dtype=np.complex128)
Q, H = arnoldi_iteration(A, b, 5)
print("Q:\n", Q)
print("H:\n", H)
这个示例代码可以处理复矩阵。在这个例子中,输入矩阵A是一个复矩阵,并且Q和H也是复矩阵。
需要注意的是,Arnoldi迭代本身是一种数值方法,它可以用于求解实对称或复对称矩阵的特征值和特征向量。然而,对于复矩阵,它只能计算实特征值的算数多重性,而无法计算复特征值。对于复特征值的计算,可以使用其他方法,如QR算法。