在AngularJS中，这个错误通常发生在尝试注入一个未定义的提供者时。为了解决这个问题，你需要确保正确地定义和注册提供者。

下面是一个解决方法的代码示例：

首先，确保你正确定义了modalMessages提供者。这个提供者可以是一个服务、工厂或者常量。

// 定义 modalMessages 提供者
angular.module('app').provider('modalMessages', function() {
  this.$get = function() {
    return {
      // 提供者的方法和属性
      showMessage: function(message) {
        // 显示消息的逻辑
      }
    };
  };
});

接下来，在你的模块中使用时，确保你正确地注入了modalMessages提供者。你可以使用modalMessagesProvider来注入。

// 在模块中使用 modalMessagesProvider
angular.module('app').controller('ExampleController', function(modalMessagesProvider) {
  // 使用 modalMessages 提供者的方法和属性
  modalMessagesProvider.showMessage('Hello, World!');
});

最后，确保你将正确的模块依赖关系添加到你的应用程序中。

// 添加正确的模块依赖关系
angular.module('app', ['dependencyModule']);

通过这些步骤，你应该能够成功解决“AngularJS注入错误 - 未知提供者：modalMessagesProvider <- modalMessages”的问题。