文章目录

• 线索二叉树
• • 中序线索二叉树
• 构造线索二叉树
• • 节点的线索化
• 其他操作
• • 销毁二叉搜索树
  • 获取中序遍历的第一个节点
  • 获取中序遍历的最后一个节点
  • 输出中序遍历序列
  • 逆序输出中序遍历序列
  • 源码

线索二叉树

线索二叉树又称为二叉树的线索化。

在一个具有n个节点的二叉树中，它含有n+1个空指针链域，如果我们把这些空指针链域利用起来，用它来记录当前节点的前驱节点与后继节点，这些指针被称为线索。 加上线索的二叉树成为线索二叉树。

线索二叉树：

• 先序线索二叉树
• 中序线索二叉树
• 后序线索二叉树

我们在本节主要讨论中序线索二叉树。

线索二叉树的优势：

1. 利用线索二叉树进行中序遍历时，不必采用堆栈处理，速度较一般二叉树的遍历速度快，且节约存储空间。
2. 任意一个结点都能直接找到它的前驱和后继结点。

中序线索二叉树

解析： 中序线索二叉树

这颗二叉树的中序遍历结果： 1 1 2 4 5 9 注意：我们使用了一个头节点（值为0）作为特殊的线索，在二叉树中本身并不包含这个头节点。

黑色指针链： 代表节点之间的正常的左右孩子关系。
红色指针链： 代表线索，即指针此节点的前驱与后继节点

注意：我们所讨论的前驱与后继都是根据这个二叉树的中序遍历的序列的位置关系。

1. 根节点的左子树 1： 它是一个叶子节点，所以具有线索，左线索指向前驱节点，但是注意由于其前驱为空，所以规定他指向头节点；右线索指向其后继，在中序遍历中指向根节点1。
2. 节点2：它的左为子树为空，所以它应该具有左线索，指向其前驱，应该为根节点1.
3. 节点4：同第一步的节点1一致，具有左线索与右线索，分别指向前驱与后继节点，即节点2和节点5.
4. 节点9：它是中序遍历的末尾节点，也是叶子节点，左线索指向前驱，即它的中序遍历前一个节点5；右线索指向后继，它没有后继，因此指向头节点。
5. 注意：头节点也应该具有线索，左线索指向根节点，右线索指向这颗树的中序遍历的最后一个节点，即最右节点。

构造线索二叉树

我们经过上面的图分析后，可以得知：线索二叉树其实就是普通的二叉树，然后又加了指向其前驱与后继的线索。
那么如何表示左右指针链与线索呢？

存储结构：

template 
struct TreeNode
{T data;		//节点的值TreeNode* pleft, * pright;	//左右指针int ltag, rtag;		//表示有没有左右线索
};

• ltag：是否具有左线索

  • 值为0： 直接用作普通的指针链即可，pelft指向其左孩子节点
  • 值为1： 它具有线索：此时pleft指向其当前节点的前驱节点。

• rtag：是否具有右线索

  • 值为0： 直接用作普通的指针链即可，pright指向其右孩子节点
  • 值为1： 它具有线索：此时pright指向其当前节点的后继节点。

节点的线索化

当我们明确了二叉树节点的存储结构之后，我们便可以按照我们的思路来完成线索化了。

主要思路：
中序遍历一颗树，在中序遍历的过程中，检查当前节点的左右指针是否为空，为空则指向当前节点的前驱节点与后继节点。

请注意：既然需要前驱节点与后继节点，那么我们显然需要一个 pre节点，即指向当前节点的前驱节点的指针，用它来连接。

过程：

1. 首先创建一个头节点pHead，用它来确保中序遍历的序列的首元节点和尾节点能够被线索化。
2. 首先遍历左子树。
3. 如果当前遍历的节点 p->pleft 不为空，则 p->ltag 置为0； p->pright 不为空，则 p->rtag 置为0，表示左右指针不需要线索化。
4. 如果当前遍历的节点 p->pleft 为空，则 p->ltag 置为1，p->pleft指向其前驱节点 pre ； p->pright 为空，则 pre ->rtag 置为1，pre->pright指向其后继节点 p，表示左右指针需要线索化。（注意这个右线索化时，我们当前节点是p，前驱节点是pre，我们既然要让 p 连接后继节点，不如反过来让pre连接p。）
5. 然后遍历右子树，递归，执行相同的操作。

代码示例：

template
TreeNode* Tree::_createThread_Tree(TreeNode* bt)
{//增加一个头节点TreeNode* pHead = new TreeNode{ 0,nullptr,bt,0,1 };//1. 判断这颗树是否是空的。if (bt == nullptr){pHead->ltag = 0;pHead->pleft = pHead;pHead->rtag = 1;pHead->pright = nullptr;}else{//2. bt不为空树，则开始线索化。pHead->pleft = bt;	//（1）首先头节点的左指针线索化树根节点pre = pHead;		//（2）前驱节点首先设置为头节点_Thread(bt);		//（3）开始树中各个节点的线索连接//结束后，pre指向根节点  进行头节点根节点的连接pHead->pright = pre;	pre->rtag = 1;				pre->pright = pHead;}//返回头节点return pHead;
}
template
void Tree::_Thread(TreeNode*& bt)
{	if (bt != nullptr){//递归进入右子树，开始线索化_Thread(bt->pleft);	//直到其左指针为空，则需要将左指针线索化。//左指针指向其前驱节点，ltag标记为1if (bt->pleft == nullptr){bt->pleft = pre;bt->ltag = 1;}else{//左指针不为空，则不需要线索化，ltag设置为0bt->ltag = 0;}//如果节点右指针为空，则需要将右指针线索化。//右指针指向其后继节点，rtag标记为1//注意： 当前节点与后继节点的连接可以转换为 ---> 前驱节点与当前节点(当作后继节点)的连接if (pre->pright == nullptr){pre->pright = bt;pre->rtag = 1;}else{pre->rtag = 0;}//每次完成一个节点的操作后，前驱节点记得要更新为当前节点，然后当前节点接着往下遍历pre = bt;_Thread(bt->pright);	//递归进入右子树，开始线索化}
}

如果你对 _Thread线索化函数感到难以理解，我们来一步步图解这个过程：

1. 首先p一路递归到其左指针等于空的时候，开始线索化：左指针指向其前驱节点，此时pre默认为头节点（我们自定义的），左指针指向头节点，ltag标记为1；pre的右指针为空，pre的右指针指向当前节点，rtag标记为1，接着递归进入节点4的右子树。
   

2. 节点4右指针为空，因此递归返回一层，返回到节点3。pre指向其前驱节点4。可以发现节点3的左指针不为空，因此ltag标记为0，无需对左指针进行线索化。pre的右指针为空，进行pre右指针的线索化，连接其后继节点。pre的pright连接当前节点p，标记ltag为1，此时就完成了节点4的线索化。
   

3. 接着递归进入节点3的右子树中，到达节点5，它的左指针为空，因此进行左线索化，连接其前驱节点pre，标记节点5的ltag为1。此时 节点3的线索化就完成了！ 然后递归进入节点5的右子树。
   

4. 节点5的右指针为空，因此返回递归，到达了节点2，pre指向节点5。节点2的左指针不为空，因此ltag标记0。pre的右指针为空，pre的右指针指向p，rtag标记为1，接着递归进入节点2的右子树，为空，则返回上一层。对于节点5的线索化也完成了！
   

5. p到达节点1，pre到达节点2，p的左指针不为空，无需线索化，ltag标记为0。pre的右指针为空，需要线索化，pre的右指针指向p，rtag标记为1，节点2的线索化就完成了！

6. 接下来进入节点1的右子树的递归，为空，所以返回上一层，递归结束，返回到函数中。头节点的右指针连接到pre上，rtag标记为1，根节点的右指针也连接到头节点上，rtag标记为1，此时整棵树的线索化就完成了！

如何来检测结果的正确性？
中序遍历序列：

4 ---- 3 ----- 5 ----- 2 ------ 1
4的前驱为头节点，后继为节点3。（线索化）
3的前驱为节点4，后继是节点5。（无需线索化）
5的前驱是节点3，后继是节点2。（线索化）
2的前驱是节点5，后继是节点1。（右线索化）
1的前驱是节点2，后继是根节点。（右线索化）
根节点始终与中序遍历的最后一个节点的右指针互相连接。

其他操作

销毁二叉搜索树

如果 ltag和rtag都等于0，表示节点具有左右子树；如果都不等于1，则相当于上面的叶子节点4一样，递归到了树底层，则删除此节点。

template
void Tree::_destroyTH(TreeNode*& bt)
{//左子树不为空，递归到最后一个左子树叶子节点if (bt->ltag == 0){_destroyTH(bt->pleft);}//右子树不为空，递归到最后一个右子树叶子节点if (bt->rtag == 0){_destroyTH(bt->pright);}delete bt;bt = nullptr;
}

获取中序遍历的第一个节点

当最后一个节点的ltag为1时，则表示到达了最后。

template
TreeNode* Tree::FindMidFirst()
{TreeNode* begnode = root->pleft;while (begnode->ltag == 0){begnode = begnode->pleft;}return begnode;
}

获取中序遍历的最后一个节点

头节点与中序遍历的最后一个节点相互连接，因此它的右指针就是中序遍历的最后一个节点。

template
TreeNode* Tree::FindMidLast()
{return root->pright;
}

输出中序遍历序列

template
TreeNode* Tree::PreNode(TreeNode* p)
{auto find = p->pleft;if (p->ltag != 1){while (find->rtag == 0){find = find->pright;}}return find;
}

template
void Tree::_midtavel()
{TreeNode* node;node = FindMidFirst();while (node != root){cout << node->data << " ";node = NextNode(node);}cout << endl;
}

逆序输出中序遍历序列

template
TreeNode* Tree::NextNode(TreeNode* p)
{auto find = p->pright;if (p->rtag != 1){while (find->ltag == 0){find = find->pleft;}}return find;
}

template
void Tree::_rmidtravel()
{auto node = FindMidLast();while (node != root){cout << node->data << " ";node = PreNode(node);}cout << endl;
}

源码

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;template 
struct TreeNode
{T data;TreeNode* pleft, * pright;int ltag, rtag;TreeNode(const T& data = 0) :data(data), pleft(nullptr), pright(nullptr),rtag(0),ltag(0) {}TreeNode(const T& data, TreeNode* pleft, TreeNode* pright, int ltag, int rtag):data(data), pleft(pleft), pright(pright), ltag(ltag), rtag(rtag) {}
};template 
class Tree
{
public:Tree();~Tree();void CreateTree(const T& val);//中序遍历序列void MidTravel();//逆中序遍历序列void rMidTravel();void CreateThreadTree();void destroyThreadTree();void destroyTree();//查找中序遍历的第一个节点TreeNode* FindMidFirst();//得到中序遍历的最后一个节点TreeNode* FindMidLast();
private://找P节点的中序前驱节点TreeNode* PreNode(TreeNode* p);//找P节点的中序后继节点TreeNode* NextNode(TreeNode* p);void _destroyTree(TreeNode*& bt);void _midtavel();void _rmidtravel();void _createTree(TreeNode*& root,const T& val);TreeNode* _createThread_Tree(TreeNode* bt);void _Thread(TreeNode*& bt);void _destroyTH(TreeNode*& bt);
private:TreeNode* root;TreeNode* pre;
};int main()
{Tree<> a;int arr[]{ 1,2,5,4,1,9 };for (int i = 0; i < sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); i++){a.CreateTree(arr[i]);}a.CreateThreadTree();auto beg =  a.FindMidFirst();auto end = a.FindMidLast();a.MidTravel();a.rMidTravel();return 0;
}template
Tree::Tree()
{root = nullptr;pre = nullptr;
}template
Tree::~Tree()
{if (pre == nullptr){destroyTree();}else{destroyThreadTree();}
}template
void Tree::CreateTree(const T&val)
{_createTree(root, val);
}template
void Tree::MidTravel() 
{_midtavel();
}template
void Tree::rMidTravel()
{_rmidtravel();
}template
void Tree::CreateThreadTree()
{root = _createThread_Tree(root);
}template
void Tree::destroyThreadTree()
{auto pNode = root->pleft;		//保存下一个节点的位置delete root;	//删除头节点的内存root = nullptr;_destroyTH(pNode);pre = nullptr;
}template
void Tree::destroyTree()
{_destroyTree(root);root = nullptr;
}template
TreeNode* Tree::FindMidFirst()
{TreeNode* begnode = root->pleft;while (begnode->ltag == 0){begnode = begnode->pleft;}return begnode;
}template
TreeNode* Tree::FindMidLast()
{return root->pright;
}template
TreeNode* Tree::PreNode(TreeNode* p)
{auto find = p->pleft;if (p->ltag != 1){while (find->rtag == 0){find = find->pright;}}return find;
}template
TreeNode* Tree::NextNode(TreeNode* p)
{auto find = p->pright;if (p->rtag != 1){while (find->ltag == 0){find = find->pleft;}}return find;
}template
void Tree::_destroyTree(TreeNode*& bt)
{if (bt != nullptr){_destroyTree(bt->pleft);_destroyTree(bt->pright);delete bt;}
}template
void Tree::_midtavel()
{TreeNode* node;node = FindMidFirst();while (node != root){cout << node->data << " ";node = NextNode(node);}cout << endl;
}template
void Tree::_rmidtravel()
{auto node = FindMidLast();while (node != root){cout << node->data << " ";node = PreNode(node);}cout << endl;
}template
void Tree::_createTree(TreeNode*& root, const T& val)
{if (root == nullptr){root = new TreeNode{ val };return;}if (val <= root->data){_createTree(root->pleft, val);}else{_createTree(root->pright, val);}
}template
TreeNode* Tree::_createThread_Tree(TreeNode* bt)
{//增加一个头节点TreeNode* pHead = new TreeNode{ 0,nullptr,bt,0,1 };if (bt == nullptr){pHead->ltag = 0;pHead->pleft = pHead;pHead->rtag = 1;pHead->pright = nullptr;}else{//bt不为空树pHead->pleft = bt;pre = pHead;			//前驱节点默认为头节点_Thread(bt);	//线索连接//结束后，pre指向根节点  进行头节点根节点的连接pHead->pright = pre;	pre->pright = pHead;pre->rtag = 1;				}//返回头节点return pHead;
}template
void Tree::_Thread(TreeNode*& bt)
{	if (bt != nullptr){_Thread(bt->pleft);	//递归进入右子树，开始线索化//线索化if (bt->pleft == nullptr){bt->pleft = pre;bt->ltag = 1;}else{bt->ltag = 0;}if (pre->pright == nullptr){pre->pright = bt;pre->rtag = 1;}else{pre->rtag = 0;}//node.emplace_back(bt);pre = bt;_Thread(bt->pright);	//递归进入右子树，开始线索化}
}template
void Tree::_destroyTH(TreeNode*& bt)
{//左子树不为空，递归到最后一个左子树叶子节点if (bt->ltag == 0){_destroyTH(bt->pleft);}//右子树不为空，递归到最后一个右子树叶子节点if (bt->rtag == 0){_destroyTH(bt->pright);}delete bt;bt = nullptr;
}