说明

【跟月影学可视化】学习笔记。

三维仿射变换：平移

对于平移变换来说，如果向量 P(x0​x_0​x0​​, y0y_0y0​​, z0​z_0​z0​​) 沿着向量 Q(x1x_1x1​​, y1​y_1​y1​​, z1​z_1​z1​​) 平移，只需要让 P 加上 Q，就能得到变换后的坐标。

三维仿射变换：缩放

让三维向量乘上标量，就相当于乘上要缩放的倍数。

可以使用齐次矩阵来表示三维仿射变换，通过引入一个新的维度，就可以把仿射变换转换为齐次矩阵的线性变换。

三维物体的旋转变换比较复杂一点，下面先了解一下欧拉角。

什么是欧拉角？

中文维基百科：欧拉角

莱昂哈德·欧拉用欧拉角来描述刚体在三维欧几里得空间的取向。对于任何参考系，一个刚体的取向，是依照顺序，从这参考系，做三个欧拉角的旋转而设定的。所以，刚体的取向可以用三个基本旋转矩阵来决定。换句话说，任何关于刚体旋转的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵复合而成的。

比如飞机的姿态可以由这三个欧拉角来确定，绕 x 轴的旋转角度（翻滚机身）、绕 y 轴的旋转角度（俯仰），以及绕 z 轴的旋转角度（偏航）来表示。

具体的表示公式就是 Rx、Ry、Rz，这三个旋转矩阵相乘。

这里采用的是 y−x−z 顺规。

下面是欧拉角的顺规表示方式：

采用 y−x−z 顺规的欧拉角得到的旋转矩阵如下：

使用欧拉角来旋转几何体

让几何体绕 y 轴、x 轴、z 轴转过 α、β、γ 角。

下面是三维物体的旋转变换矩阵：

绕y轴旋转变换矩阵：

绕x轴旋转变换矩阵：

绕z轴旋转变换矩阵：

如何使用欧拉角来旋转几何体？

OGL 框架的几何网格（Mesh）对象直接支持欧拉角（默认欧拉角顺规是 y−x−z），用对象的 rotation 属性（它是一个三维向量）就可以设置欧拉角。

下面实现可以随意调整欧拉角的飞机模型效果：偏航（改变 alpha）、翻滚（改变 beta）和俯仰（改变 theta）

需要用到的资源

• 飞机模型json跟图片
• dat-gui：JavaScript Controller Library

效果如下：

如何理解万向节锁？

使用欧拉角来操作几何体的方向有个缺陷叫做万向节锁 (Gimbal Lock)。

什么是 Gimbal ？

平衡环架（英语：Gimbal），是一具有枢纽的装置，作用是使得一物体能以单一轴旋转。由彼此垂直的枢纽轴所组成的一组三只平衡环架，则可使架在最内的环架的物体维持旋转轴不变，而应用在船上的陀螺仪、罗盘、饮料杯架等用途上，而不受船体因波浪上下震动、船身转向的影响。

什么是万向节锁 (Gimbal Lock) ？

在特定的欧拉角情况下，姿态调整的自由度丢失就是万向节锁 (Gimbal Lock) 。

我们调整 beta 的角度改成 90，不管改变 alpha 还是改变 theta，飞机都绕着 y 轴旋转，始终处于一个平面上。本来飞机姿态有 x、y、z 三个自由度，现在 y 轴被固定了，只剩下两个自由度了，这就是万向节锁。

要避免万向节锁的产生，可以使用比较好的一种数学模型：四元数（Quaternion）。

使用四元数来旋转几何体

四元数是一种高阶复数，一个四元数可以表示为：q = w + xi + yj + zk。

• i、j、k 是三个虚数单位，w 是标量
• 满足 i2i^2i2 = j2j^2j2 = k2k^2k2 = ijk = −1

所谓单位四元数，就是其中的参数满足 x2x^2x2+y2y^2y2+z2z^2z2+w2w^2w2=1。单位四元数对应的旋转矩阵如下：

四元数与轴角

所谓轴角，就是在三维空间中，给定一个由单位向量表示的轴，以及一个旋转角度 ⍺，以此来表示几何体绕该轴旋转 ⍺ 角。

绕单位向量 u 旋转 ⍺ 角，对应的四元数可以表示为：q = (usin(⍺/2), cos(⍺/2))。

下面实现一下用四元数让飞机沿着某个轴旋转：

拓展阅读

• 四元数与三维旋转
• 三维旋转：欧拉角、四元数、旋转矩阵、轴角之间的转换