【视觉高级篇】22 # 如何用仿射变换来移动和旋转3D物体?
创始人
2024-03-08 14:18:39
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说明

【跟月影学可视化】学习笔记。

三维仿射变换:平移

对于平移变换来说,如果向量 P(x0​x_0​x0​​, y0y_0y0​​, z0​z_0​z0​​) 沿着向量 Q(x1x_1x1​​, y1​y_1​y1​​, z1​z_1​z1​​) 平移,只需要让 P 加上 Q,就能得到变换后的坐标。

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三维仿射变换:缩放

让三维向量乘上标量,就相当于乘上要缩放的倍数。

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可以使用齐次矩阵来表示三维仿射变换,通过引入一个新的维度,就可以把仿射变换转换为齐次矩阵的线性变换。

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三维物体的旋转变换比较复杂一点,下面先了解一下欧拉角。

什么是欧拉角?

中文维基百科:欧拉角

莱昂哈德·欧拉用欧拉角来描述刚体在三维欧几里得空间的取向。对于任何参考系,一个刚体的取向,是依照顺序,从这参考系,做三个欧拉角的旋转而设定的。所以,刚体的取向可以用三个基本旋转矩阵来决定。换句话说,任何关于刚体旋转的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵复合而成的。

比如飞机的姿态可以由这三个欧拉角来确定,绕 x 轴的旋转角度(翻滚机身)、绕 y 轴的旋转角度(俯仰),以及绕 z 轴的旋转角度(偏航)来表示。

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具体的表示公式就是 Rx、Ry、Rz,这三个旋转矩阵相乘。

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这里采用的是 y−x−z 顺规。

下面是欧拉角的顺规表示方式:

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采用 y−x−z 顺规的欧拉角得到的旋转矩阵如下:
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使用欧拉角来旋转几何体

让几何体绕 y 轴、x 轴、z 轴转过 α、β、γ 角。

下面是三维物体的旋转变换矩阵:

绕y轴旋转变换矩阵:
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绕x轴旋转变换矩阵:
在这里插入图片描述
绕z轴旋转变换矩阵:

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如何使用欧拉角来旋转几何体?

OGL 框架的几何网格(Mesh)对象直接支持欧拉角(默认欧拉角顺规是 y−x−z),用对象的 rotation 属性(它是一个三维向量)就可以设置欧拉角。

下面实现可以随意调整欧拉角的飞机模型效果:偏航(改变 alpha)、翻滚(改变 beta)和俯仰(改变 theta)

需要用到的资源

  • 飞机模型json跟图片
  • dat-gui:JavaScript Controller Library

如何使用欧拉角来旋转几何体

效果如下:

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如何理解万向节锁?

使用欧拉角来操作几何体的方向有个缺陷叫做万向节锁 (Gimbal Lock)

什么是 Gimbal ?

平衡环架(英语:Gimbal),是一具有枢纽的装置,作用是使得一物体能以单一轴旋转。由彼此垂直的枢纽轴所组成的一组三只平衡环架,则可使架在最内的环架的物体维持旋转轴不变,而应用在船上的陀螺仪、罗盘、饮料杯架等用途上,而不受船体因波浪上下震动、船身转向的影响。

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什么是万向节锁 (Gimbal Lock) ?

在特定的欧拉角情况下,姿态调整的自由度丢失就是万向节锁 (Gimbal Lock) 。

我们调整 beta 的角度改成 90,不管改变 alpha 还是改变 theta,飞机都绕着 y 轴旋转,始终处于一个平面上。本来飞机姿态有 x、y、z 三个自由度,现在 y 轴被固定了,只剩下两个自由度了,这就是万向节锁。

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要避免万向节锁的产生,可以使用比较好的一种数学模型:四元数(Quaternion)

使用四元数来旋转几何体

四元数是一种高阶复数,一个四元数可以表示为:q = w + xi + yj + zk

  • i、j、k 是三个虚数单位,w 是标量
  • 满足 i2i^2i2 = j2j^2j2 = k2k^2k2 = ijk = −1

所谓单位四元数,就是其中的参数满足 x2x^2x2+y2y^2y2+z2z^2z2+w2w^2w2=1。单位四元数对应的旋转矩阵如下:

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四元数与轴角

所谓轴角,就是在三维空间中,给定一个由单位向量表示的轴,以及一个旋转角度 ⍺,以此来表示几何体绕该轴旋转 ⍺ 角。

在这里插入图片描述
绕单位向量 u 旋转 ⍺ 角,对应的四元数可以表示为:q = (usin(⍺/2), cos(⍺/2))

下面实现一下用四元数让飞机沿着某个轴旋转:


用四元数让飞机沿着某个轴旋转

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拓展阅读

  • 四元数与三维旋转
  • 三维旋转:欧拉角、四元数、旋转矩阵、轴角之间的转换

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