计算机图形学中的曲线问题——拉格朗日插值曲线绘制实践
拉格朗日插值曲线的绘制
限于篇幅，我们将在这篇文章中介绍拉格朗日插值曲线绘制实践，主文章链接：
GGN_2015
计算机图形学中的曲线问题
在主文章中我们已经介绍了拉格朗日插值函数的绘制方法。给定一个函数必须通过的点的集合，保证任意两点 xxx 指不同，我们就能构造出一条拉格朗日插值函数。但是函数图象作为一种特殊的曲线，有着很多的我们不想要的约束，例如：
- 函数曲线上每个 xxx 至多只有一个 yyy 与之对应；
- 函数难以描述斜率不存在的位置；
因此，假如我们先要描述一条在平面甚至空间中任意“蜿蜒”的曲线，我们需要使用参数方程的方式。我们可以把平面上的参数方程理解成一个从 R\RR 映射到 R2\R^2R2 的映射，每一个自变量 ttt 对应着参数方程中的一个点对 (Xt,Yt)(X_t, Y_t)(Xt,Yt)。
拉格朗日插值曲线的表示
假设我们希望我们的曲线能够依次通过 P1(x1,y1),P2(x2,y2),⋯,Pn(xn,yn)P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2), \cdots, P_n(x_n, y_n)P1(x1,y1),P2(x2,y2),⋯,Pn(xn,yn)，那么我们不妨定义一个这样的参数方程：
M(t)=P1⋅f1(t)+P2⋅f2(t)⋯+Pn⋅fn(t),t∈[1,n](1)M(t)=P_1\cdot f_1(t)+P_2\cdot f_2(t)\cdots +P_n\cdot f_n(t), t\in[1, n] \tag{1} M(t)=P1⋅f1(t)+P2⋅f2(t)⋯+Pn⋅fn(t),t∈[1,n](1)
其中 fif_ifi 的是一个在 x=ix=ix=i 处取值为 111，在 x∈{1,2,⋯,n}且x≠ix\in\{1, 2, \cdots, n\} 且 x\neq ix∈{1,2,⋯,n}且x=i 时 fi(x)=0f_i(x)=0fi(x)=0，这种函数的构造方法在主文章中介绍过，在此不再赘述。(1)(1)(1) 式中，我们将 PiP_iPi 与 fi(t)f_i(t)fi(t) 依次对应相乘，这里的点 ‘⋅\cdot⋅’ 表示数乘向量，其中 PiP_iPi 是二维空间的点坐标，也就是一个二维向量，fi(t)∈Rf_i(t)\in \Rfi(t)∈R 是一个实数。最终我们得到的 M(t)∈R2M(t)\in \R^2M(t)∈R2 是一个二维向量，我们把它视为平面中的一个动点，这个动点的轨迹就是我们的插值曲线。
根据我们之前对一般的拉格朗日插值函数的介绍，我们可以得知：
M(1)=P1⋅1+P2⋅0⋯+Pn⋅0=P1M(2)=P1⋅0+P2⋅1⋯+Pn⋅0=P2⋮M(n)=P1⋅0+P2⋅0⋯+Pn⋅1=PnM(1)=P_1\cdot 1+P_2\cdot 0\cdots +P_n\cdot0=P_1\\ M(2)=P_1\cdot 0+P_2\cdot 1\cdots +P_n\cdot0=P_2\\ \vdots\\ M(n)=P_1\cdot 0+P_2\cdot 0\cdots +P_n\cdot1=P_n\\ M(1)=P1⋅1+P2⋅0⋯+Pn⋅0=P1M(2)=P1⋅0+P2⋅1⋯+Pn⋅0=P2⋮M(n)=P1⋅0+P2⋅0⋯+Pn⋅1=Pn
换言之，当 ttt 从 111 变化到 nnn 的过程中参数方程曲线 M(t)M(t)M(t) 能够依次通过 P1,P2,⋯,PnP_1, P_2, \cdots, P_nP1,P2,⋯,Pn 中的每一个点。下面给出了一个包含五个结点的拉格朗日插值函数的示例：
我们会看到，上图中红色的曲线确实忠实地穿过了 P1,P2,⋯,P5P_1, P_2, \cdots, P_5P1,P2,⋯,P5 这五个控制点，但是当我们改变其中一个点的坐标时，整条曲线都扭得很厉害，而这也正是插值曲线不适合做工业设计的原因。在大多数时刻我们都不仅需要曲线经过一些指定的定点，还希望曲线能在控制点变化时尽可能保持一个较为稳定的形态，否则我们将很难实现对曲线形状的自由控制。
但拉格朗日插值曲线也有它的优势，一方面他是插值曲线，能够通过指定的所有控制点，而拟合曲线只能近似通过某些控制点。另一方面就是拉格朗日插值曲线无穷阶可导连续，而这一点是一般的分段函数很难实现的。