【数学】双根号求值域问题
∣双根号求值域问题NightguardSeries.∣\begin{vmatrix}\Huge{\textsf{ 双根号求值域问题 }}\\\texttt{ Nightguard Series. }\end{vmatrix}∣∣∣∣∣ 双根号求值域问题 Nightguard Series. ∣∣∣∣∣
求 f(x)=3x−6+3−xf(x)=\sqrt{3x-6}+\sqrt{3-x}f(x)=3x−6+3−x 的值域。
tips：请时刻小心定义域
♣1.求导\clubsuit 1.\texttt{求导}♣1.求导
f′(x)=−323x−6+123−x=−1233−x−3x−6(3x−6)(3−x)f'(x)=-\frac{3}{2\sqrt{3x-6}}+\frac{1}{2\sqrt{3-x}}=-\frac{1}{2}{\frac{3\sqrt{3-x}-\sqrt{3x-6}}{\sqrt{(3x-6)(3-x)}}}f′(x)=−23x−63+23−x1=−21(3x−6)(3−x)33−x−3x−6
令 f′(x0)=0f'(x_0)=0f′(x0)=0 ， 则 33−x0−3x0−6=0⇒x0=1143\sqrt{3-x_0}-\sqrt{3x_0-6}=0 \Rightarrow x_0=\frac{11}{4}33−x0−3x0−6=0⇒x0=411
f(x)f(x)f(x) 在 [2,x0)[2,x_0)[2,x0) 上单增，在 (x0,3](x_0,3](x0,3] 上单减
代入得 f(x)max=f(x0)=2,f(x)min=f(2)=1.f(x)_{max}=f(x_0)=2,f(x)_{min}=f(2)=1.f(x)max=f(x0)=2,f(x)min=f(2)=1.
♣2.三角换元\clubsuit 2.\texttt{三角换元}♣2.三角换元
f(x)=3x−6+3−x=3x−2+3−xf(x)=\sqrt{3x-6}+\sqrt{3-x}=\sqrt{3}\sqrt{x-2}+\sqrt{3-x}f(x)=3x−6+3−x=3x−2+3−x
令 a=x−2,b=3−x,a=\sqrt{x-2},b=\sqrt{3-x},a=x−2,b=3−x, 则 a2+b2=1a^2+b^2=1a2+b2=1 （三角换元的标志）
令 a=sinθ,b=cosθa=\sin \theta, b=\cos \thetaa=sinθ,b=cosθ
则 f(x)=3a+b=3sinθ+cosθ=2sin(θ+π6)f(x)=\sqrt{3}a+b=\sqrt{3}\sin\theta + \cos \theta =2\sin(\theta+\frac{\pi}{6})f(x)=3a+b=3sinθ+cosθ=2sin(θ+6π)
∵a,b>0\because a,b>0∵a,b>0 ，不妨令 θ∈[0,π2]\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]θ∈[0,2π]
则 θ=π3\theta=\frac{\pi}{3}θ=3π 时取到最大值，
a=32,b=12⇒f(x)max=2,x=114;a=\frac{\sqrt{3}}{2},b=\frac{1}{2} \Rightarrow f(x)_{max}=2,x=\frac{11}{4};a=23,b=21⇒f(x)max=2,x=411;
θ=0\theta=0θ=0 时取到最小值，
a=0,b=1⇒f(x)min=1,x=2.a=0,b=1 \Rightarrow f(x)_{min}=1,x=2.a=0,b=1⇒f(x)min=1,x=2.
♣3.向量法\clubsuit 3.\texttt{向量法}♣3.向量法
f(x)=3x−6+3−x=3x−2+3−xf(x)=\sqrt{3x-6}+\sqrt{3-x}=\sqrt{3}\sqrt{x-2}+\sqrt{3-x}f(x)=3x−6+3−x=3x−2+3−x
令 a⃗=(3,1),b⃗=(x−2,3−x)\vec{a}=(\sqrt{3},1),\vec{b}=(\sqrt{x-2},\sqrt{3-x})a=(3,1),b=(x−2,3−x) ，则 a⃗⋅b⃗=f(x)\vec{a}\cdot \vec{b}=f(x)a⋅b=f(x)
∵(x−2)2+(3−x)2=1\because (\sqrt{x-2})^2+(\sqrt{3-x})^2=1∵(x−2)2+(3−x)2=1 为定值
∴b⃗\therefore \vec{b}∴b 终点的轨迹是一段圆弧。
如图：
当 a⃗,b⃗\vec{a},\vec{b}a,b 共线时， a⃗⋅b⃗\vec{a}\cdot\vec{b}a⋅b 最大，为 ∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=2|\vec{a}|\cdot |{\vec{b}}|=2∣a∣⋅∣b∣=2 ，即 f(x)max=2,f(x)_{max}=2,f(x)max=2,
共线时 BBB 在直线 OAOAOA 上，∴3x−2=3−x⇒x=114;\therefore \sqrt{3}\sqrt{x-2}=\sqrt{3-x} \Rightarrow x=\frac{11}{4};∴3x−2=3−x⇒x=411;
当 b⃗=(0,1)\vec{b}=(0,1)b=(0,1) 时， a⃗⋅b⃗\vec{a}\cdot\vec{b}a⋅b 最小，为 ∣a⃗∣∣b⃗∣⋅π3=1|\vec{a}||{\vec{b}}|\cdot{\frac{\pi}{3}}=1∣a∣∣b∣⋅3π=1 ，即 f(x)min=1f(x)_{min}=1f(x)min=1 ，此时 x=2.x=2.x=2.
♣4.线性规划\clubsuit 4.\texttt{线性规划}♣4.线性规划
令 a=3x−6,b=3−x,a=\sqrt{3x-6},b=\sqrt{3-x},a=3x−6,b=3−x,
则 a2+3b2=3⇒a23+b2=1(a,b>0)a^2+3b^2=3 \Rightarrow \frac{a^2}{3}+b^2=1 (a,b>0)a2+3b2=3⇒3a2+b2=1(a,b>0)
f(x)=a+b⇒b=−a+f(x)f(x)=a+b \Rightarrow b=-a+f(x)f(x)=a+b⇒b=−a+f(x)
如图，即求椭圆在第一象限的部分 C:x23+y2=1(x,y>0)C:\frac{x^2}{3}+y^2=1 (x,y>0)C:3x2+y2=1(x,y>0) 与 l:y=−x+ml:y=-x+ml:y=−x+m 有交点时 mmm 的范围。
当 lll 与 CCC 相切时 mmm 最大，
CCC 的切线方程： x0x3+y0y=1\frac{x_0x}{3}+y_0y=13x0x+y0y=1
∵k=−1∴x03=y0,\because k=-1 \therefore \frac{x_0}{3}=y_0,∵k=−1∴3x0=y0, 与 CCC 方程联立得切点：P(32,12)P(\frac{3}{2},\frac{1}{2})P(23,21)
∴l:y=−x+2=0,mmax=2,\therefore l:y=-x+2=0,m_{max}=2,∴l:y=−x+2=0,mmax=2, 即 f(x)max=2,f(x)_{max}=2,f(x)max=2,
a=32,b=12⇒x=114.a=\frac{3}{2},b=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{11}{4}.a=23,b=21⇒x=411.
当 lll 与 CCC 交点为 (1,0)(1,0)(1,0) 时 mmm 最小，即 f(x)min=1,f(x)_{min}=1,f(x)min=1,
a=0,b=1⇒x=2.a=0,b=1 \Rightarrow x=2.a=0,b=1⇒x=2.
或者，令 a=x−2,b=3−x,a=\sqrt{x-2},b=\sqrt{3-x},a=x−2,b=3−x,
则 a2+b2=1,f(x)=3a+b⇒b=−3a+f(x)a^2+b^2=1,f(x)=\sqrt{3}a+b \Rightarrow b=-\sqrt{3}a+f(x)a2+b2=1,f(x)=3a+b⇒b=−3a+f(x)
像这样化成圆再做的话也可以。（其实相当于仿射变换）
♣5.柯西不等式\clubsuit 5.\texttt{柯西不等式}♣5.柯西不等式
3x−6+3−x=3x−2+1⋅3−x≤(3+1)(3−x+x−2)=2.\sqrt{3x-6}+\sqrt{3-x}=\sqrt{3}\sqrt{x-2}+1\cdot \sqrt{3-x} \leq\sqrt{(3+1)(3-x+x-2)}=2.3x−6+3−x=3x−2+1⋅3−x≤(3+1)(3−x+x−2)=2.
当且仅当 31=x−23−x\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{{\sqrt{x-2}}}{{\sqrt{3-x}}}13=3−xx−2 时取到最大值，解得 x=114x=\frac{11}{4}x=411
在知道函数单调性的前提下，代入端点求最小值
♣6.n元均值不等式\clubsuit 6.\texttt{n元均值不等式}♣6.n元均值不等式
3x−6+3−x\sqrt{3x-6}+\sqrt{3-x}3x−6+3−x
=33x−2+33x−2+33x−2+3−x=\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x-2}+\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x-2}+\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x-2}+\sqrt{3-x}=33x−2+33x−2+33x−2+3−x
由 Σann≤Σan2n\frac{\Sigma a_n}{n} \leq \sqrt{\frac{\Sigma a_n^2}{n}}nΣan≤nΣan2 得
原式 ≤4[(33x−2)2+(33x−2)2+(33x−2)2+(3−x)2])=2\leq\sqrt{4[{(\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x-2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x-2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x-2})^2+(\sqrt{3-x})^2]})}=2≤4[(33x−2)2+(33x−2)2+(33x−2)2+(3−x)2])=2
当且仅当 33x−2=3−x\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x-2}=\sqrt{3-x}33x−2=3−x ，即 x=114x=\frac{11}{4}x=411 时取到最大值
在知道函数单调性的前提下，代入端点求最小值
♣7.通解\clubsuit 7.\texttt{通解}♣7.通解
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8.开挂
只是想展示函数的图像而已 有个直观印象