轻松掌握线性代数-万字长文基础知识概览

• 1 集合相关知识
• • 1.1 映射与像
  • 1.2 映射与像
  • 1.3 线性映射
• 2 矩阵
• • 2.1 特殊矩阵
  • • 2.1.1 零矩阵
    • 2.1.2 转置矩阵
    • 2.1.3 对称矩阵
    • 2.1.4 上三角矩阵
    • 2.1.5 下三角矩阵
    • 2.1.6 对角矩阵
    • 2.1.7 单位矩阵
    • 2.1.8 逆矩阵
  • 2.2 行列式
  • • 2.2.1 根据行列式判断是否可逆
    • 2.2.2 二阶行列式
    • 2.2.3 三阶行列式
• 3 向量
• • 3.1 向量的 4 种解释方法
  • 3.2 向量表示直线和空间
  • 3.3 线性无关
  • 3.4 基
  • 3.5 维数
  • • 3.5.1 子空间
    • 3.5.2 基和维数
  • 3.6 线性代数中的坐标
• 4 线性映射
• • 4.1 线性映射
  • 4.2 特殊的线性映射
  • • 4.2.1 放大
    • 4.2.2 旋转
    • 4.2.3 平移
    • 4.2.4 透视投影
    • 4.3 核、像空间、维数公式
    • 4.4 秩
    • 4.5 线性映射与矩阵的关系
• 5 特征值和特征向量
• 参考

1 集合相关知识

1.1 映射与像

映射：把集合 Y 的元素与集合 X 的元素相对应的规则叫做 “从集合 X 到集合 Y 的映射”。

像：通过映射 f 与 x_i 相对应的集合 Y 的元素，叫做 x_i通过映射 f 形成的像，一般表示为 f(x_i)。

1.2 映射与像

1.3 线性映射

线性映射的例子 f(x)=2xf(x) = 2xf(x)=2x
两个条件均满足，条件证明：

不是线性映射的例子 f(x)=2x−1f(x)=2x-1f(x)=2x−1
满足条件 1，但是不满足条件 2：

2 矩阵

一次方程使用矩阵表示：

2.1 特殊矩阵

2.1.1 零矩阵

2.1.2 转置矩阵

2.1.3 对称矩阵

以对角元素为中心线对称的 n 阶方阵

2.1.4 上三角矩阵

对角元素左下角的所有元素均为 0 的 n 阶方阵

2.1.5 下三角矩阵

对角元素右上角的所有元素均为 0 的 n 阶方阵

2.1.6 对角矩阵

对角元素以外的元素均为 0 的 n 阶方阵，也可以表示为 diag(1,2,3,4)。diag 表示对角线的意思 diagonal。

对角矩阵计算 p 次方：

2.1.7 单位矩阵

对角元素均为 1，对角元素以外的其他元素全部为 0 的 n 阶方阵，也即 diag(1,1,…,1)

单位矩阵与任何矩阵相乘，还是得到原矩阵

2.1.8 逆矩阵

与 n 阶原方阵
的积等于单位矩阵的 n 阶方阵就是原方阵的逆矩阵。

原方阵与逆矩阵相乘，不管其顺序如何得到的乘积一定是单位矩阵。

存在逆矩阵的 n 阶方阵叫做可逆矩阵。

2.2 行列式

2.2.1 根据行列式判断是否可逆

计算行列式，det 即为 deterninant(决定因子)。行列式不为 0 则可逆。行列式为 0 ，则不可逆

2.2.2 二阶行列式

2.2.3 三阶行列式

3 向量

3.1 向量的 4 种解释方法

关于解释 4 的说明：虽然这些箭线位置不同，但它们表示的都是从箭尾到箭头的水平长度为 7，垂直长度为 4，所以这些箭线是相等的。

3.2 向量表示直线和空间

把 n × 1 列向量的所有分量的集合表示为 Rⁿ

现在利用向量表示点、轴、直线、平面和空间

点，c 为任意实数(关于虚数与复数)。y 轴上的点 (0,c) 可以表示为向量 c [01]∣\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right]|[01​]∣

轴，y 轴可以表示为集合{c[01]∣c为任意实数}\{c\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right]|c为任意实数\}{c[01​]∣c为任意实数}

直线，直线 x₁=3 可以表示为集合，{3[10]+c[01]∣c为任意实数}\{3\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right]+c\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right] |c为任意实数\}{3[10​]+c[01​]∣c为任意实数}

平面1，平面 x1x2x_1x_2x1​x2​ 可以表示为集合 {c1[10]+c2[01]∣c1和c2为任意实数}\{c_1\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right]+c_2\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right] |c_1和c_2为任意实数\}{c1​[10​]+c2​[01​]∣c1​和c2​为任意实数}，简而言之就是 R2R^2R2

平面2，平面 x1x2x_1x_2x1​x2​ 也可以表示为集合 {c1[31]+c2[12]∣c1和c2为任意实数}\{c_1\left[ \begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix} \right]+c_2\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right] |c_1和c_2为任意实数\}{c1​[31​]+c2​[12​]∣c1​和c2​为任意实数}，简而言之就是 R2R^2R2

空间1， x1x2x3x_1x_2x_3x1​x2​x3​ 空间可以表示为集合 {c1[100]+c2[010]+c3[001]∣c1、c2和c3为任意实数}\{c_1\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right]+c_2\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right]+c_3\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right] |c_1、c_2和 c_3 为任意实数\}{c1​⎣⎡​100​⎦⎤​+c2​⎣⎡​010​⎦⎤​+c3​⎣⎡​001​⎦⎤​∣c1​、c2​和c3​为任意实数}，简而言之就是 R3R^3R3

空间2， x1x2x3...xnx_1x_2x_3...x_nx1​x2​x3​...xn​ 空间可以表示为集合:

3.3 线性无关

线性无关是限定零向量的概念，也即组成零向量的向量集合只有一组全为 0 的解

同时，也可以把线性无关叫做线性独立。如果向量之间不是线性无关，就叫做线性相关。

几个线性无关例子：


几个线性相关例子：

3.4 基

基是一个集合，集合里面的元素是向量。基是以 RnR^nRn 的所有向量为对象的概念

基的例子：

不是基的例子：


集合 {[100]，[010]}\{\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right]，\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right]\}{⎣⎡​100​⎦⎤​，⎣⎡​010​⎦⎤​}，虽然不是基，但是这两个向量线性无关。也就是说线性无关向量集合并不一定是基，反过来也可以说即使集合不是基，起元素也有可能线性无关。

3.5 维数

3.5.1 子空间

子空间的例子：

不是子空间的例子：

由向量空间生成的子空间：


无论什么子空间都必须包含零向量 [00...0]\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ .\\ .\\ .\\ 0 \end{matrix} \right]⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​00...0​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​

3.5.2 基和维数

子空间 WWW 的维数，一般表示为 dimWdimWdimW,dim 是 dimension 的缩写

上面子空间由集合 {[310],[120]}\{\left[ \begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} \right]\}{⎣⎡​310​⎦⎤​,⎣⎡​120​⎦⎤​} 表示 W 的基，基的集合元素是两个，所以子空间的维数是 2。简单来讲，在线性代数中，维数就是基向量个数。

3.6 线性代数中的坐标

线性代数中的“坐标”与一般坐标不一样。一般坐标中是以基{[10...0],[01...0],...,[00...1]}\{\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ ...\\ 0 \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ ...\\ 0 \end{matrix} \right],...,\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ...\\ 1 \end{matrix} \right] \}{⎣⎢⎢⎡​10...0​⎦⎥⎥⎤​,⎣⎢⎢⎡​01...0​⎦⎥⎥⎤​,...,⎣⎢⎢⎡​00...1​⎦⎥⎥⎤​}为前提来考虑坐标的。
一般坐标中原点和点的关系：

线性代数中基有可能不同

4 线性映射

4.1 线性映射

1.4 节提到过线性映射的定义：

但上面的定义稍显模糊，线性映射完整定义：

直观地解释就是映射 f 满足这两个条件：1、向量通过 f 由 RnR^nRn 映射到 RmR^mRm 之后进行加和等价于向量加和之后，再通过映射 f 由 RnR^nRn 映射到 RmR^mRm；2、任意常数乘 f 映射到RmR^mRm的向量等价于常数乘向量随后再进行映射

如果映射 f 是从 RnR^nRn 映射到 RmR^mRm 的线性映射，那么 f 与 m×nm×nm×n 矩阵意义相同。

证明如下：

从上可以看出，f 相当于 m*n 矩阵

将 n 维向量映射到 m 维上，相当于 m×n 乘 n 维向量，类似于 y=Axy = Axy=Ax

4.2 特殊的线性映射

图中任意一点以(x1,x2)(x_1,x_2)(x1​,x2​) 表示

4.2.1 放大

如果把上图沿着 y 轴方向扩展 β 倍，x 轴方向扩展 α 倍，那么扩展后的坐标为：
{y1=αx1y2=βx2\left\{ \begin{array}{c} y_1=αx_1 \\ y_2=βx_2 \\ \end{array} \right. {y1​=αx1​y2​=βx2​​

相当于矩阵相乘：

2 阶方阵 [α00β]\left[ \begin{matrix} α & 0 \\ 0 & β \end{matrix} \right][α0​0β​] 对应的就是从 R2R^2R2 到 R2R^2R2 的线性映射 fff。

4.2.2 旋转

当要把图旋转 θ 时，就可以利用 2 阶方阵 [cosθ−sinθsinθcosθ]\left[ \begin{matrix} cosθ & -sinθ \\ sinθ & cosθ \end{matrix} \right][cosθsinθ​−sinθcosθ​] 对应的从 R2R^2R2 到 R2R^2R2 的线性映射 fff。

4.2.3 平移

如果把图沿着 x 轴方向平移 b₁ 单位，沿着 y 轴的方向平移 b₂ 个单位，那么就有下式：
{y1=x1+b1y2=x2+b2\left\{ \begin{array}{c} y_1=x_1 + b_1 \\ y_2=x_2 + b_2\\ \end{array} \right. {y1​=x1​+b1​y2​=x2​+b2​​

也可以写成：


在计算机绘图中，用的通常是 3 维映射

4.2.4 透视投影

透视投影就是通过某一固定观察点与实际物体的直线，将实物 3 维空间的点投影在 2 维平面上的方法。

透视投影可以利用 4 阶方阵

4.3 核、像空间、维数公式

4.4 秩

4.5 线性映射与矩阵的关系

5 特征值和特征向量

也就是说，在线性代数中，对于一个给定的方阵 A，它的特征向量 v 经过这个线性变换 A 之后，得到的新向量仍然与原来的v 保持在同一条直线上，但其长度或方向也许会改变。即：

拉姆达为其特征值。如果特征值为正，则表示 v 在经过线性变换的作用后方向也不变；如果特征值为负，说明方向会反转；如果特征值为0，则是表示缩回零点。

利用特征值和特征向量求解向量 p 次方

参考

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漫画线性代数
特征值和特征向量