声明：以下所有内容仅代表个人观点和理解，作为学习笔记便于自行查阅理解使用。

一、纯态与混合态[1]^{[1]}[1]

（一）纯态（Pure state）

1. 纯态：量子系统的量子态 ∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩ 是一个确定的态。
2. 密度矩阵表示：ρ=∣ψ⟩⟨ψ∣.\rho = |\psi\rangle\langle\psi|.ρ=∣ψ⟩⟨ψ∣.
3. tr(ρ2)=1.tr(\rho^2) = 1.tr(ρ2)=1.

（二）混合态（Mixed state）

1. 混合态：量子系统可能以一定概率 p1p_1p1​ 处于量子态 ∣ψ1⟩|\psi_1\rangle∣ψ1​⟩，以一定概率 p2p_2p2​ 处于量子态 ∣ψ2⟩|\psi_2\rangle∣ψ2​⟩，…，以 pnp_npn​ 的概率处于量子态 ∣ψn⟩|\psi_n\rangle∣ψn​⟩。因此我们可以从统计的角度将混合态看作是不同纯态的概率分布，对相同的混合态进行统计，这个混合态应当分别以 p1,p2,…,pnp_1, p_2, \ldots, p_np1​,p2​,…,pn​ 的概率处于量子态 ∣ψ1⟩,∣ψ2⟩,…,∣ψn⟩|\psi_1\rangle, |\psi_2\rangle, \ldots, |\psi_n\rangle∣ψ1​⟩,∣ψ2​⟩,…,∣ψn​⟩。
2. 密度矩阵表示：ρ=∑ipi∣ψi⟩⟨ψi∣.\rho = \sum\limits_i p_i|\psi_i\rangle\langle\psi_i|.ρ=i∑​pi​∣ψi​⟩⟨ψi​∣.
3. tr(ρ2)<1.tr(\rho^2) < 1.tr(ρ2)<1.

通常我们可以通过计算 tr(ρ2)tr(\rho^2)tr(ρ2) 来判断一个量子系统是处于纯态还是混合态。

二、直积态

复合系统的量子态 ∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩ 可以表示为若干个孤立子系统 ∣ψ1⟩,∣ψ2⟩,…,∣ψn⟩|\psi_1\rangle, |\psi_2\rangle, \ldots, |\psi_n\rangle∣ψ1​⟩,∣ψ2​⟩,…,∣ψn​⟩ 的直积态形式（这些子系统之间不存在纠缠，互相独立），即 ∣ψ⟩=∣ψ1⟩⊗∣ψ2⟩⊗…⊗∣ψn⟩.|\psi\rangle = |\psi_1\rangle \otimes |\psi_2\rangle \otimes \ldots \otimes |\psi_n\rangle.∣ψ⟩=∣ψ1​⟩⊗∣ψ2​⟩⊗…⊗∣ψn​⟩.

三、纠缠态（Entangled state）

如果一个量子系统不能写成若干个单量子比特系统的直积态表示，则认为该量子系统处于纠缠态[2]^{[2]}[2]。常见的两粒子纠缠态是如下的四种贝尔态（Bell state）。
∣Φ+⟩=∣00⟩+∣11⟩2,∣Φ−⟩=∣00⟩−∣11⟩2,∣Ψ+⟩=∣01⟩+∣10⟩2,∣Ψ−⟩=∣01⟩−∣10⟩2.\begin{aligned} |\Phi^+\rangle = \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt2},\\ |\Phi^-\rangle = \frac{|00\rangle - |11\rangle}{\sqrt2},\\ |\Psi^+\rangle = \frac{|01\rangle + |10\rangle}{\sqrt2},\\ |\Psi^-\rangle = \frac{|01\rangle - |10\rangle}{\sqrt2}. \end{aligned} ∣Φ+⟩=2​∣00⟩+∣11⟩​,∣Φ−⟩=2​∣00⟩−∣11⟩​,∣Ψ+⟩=2​∣01⟩+∣10⟩​,∣Ψ−⟩=2​∣01⟩−∣10⟩​.​
不难发现，以上四种量子态均不能写作 ∣ϕ⟩=(α∣0⟩+β∣1⟩)⊗(γ∣0⟩+δ∣1⟩)|\phi\rangle = (\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle)\otimes(\gamma|0\rangle + \delta|1\rangle)∣ϕ⟩=(α∣0⟩+β∣1⟩)⊗(γ∣0⟩+δ∣1⟩) 的直积态形式[3]^{[3]}[3]。

实际上，这四种贝尔态均为纯态，我们可以通过计算 tr(ρ2)tr(\rho^2)tr(ρ2) 来验证这一点，从而加深我们对上述内容的理解。其详细计算过程如下：

1. 首先分别计算这 4 种贝尔态的密度矩阵 ρ\rhoρ，不妨设上述 4 种贝尔态的密度矩阵分别为 ρ0,ρ1,ρ2,ρ3\rho_0, \rho_1, \rho_2, \rho_3ρ0​,ρ1​,ρ2​,ρ3​，则
   ρ0=∣Φ+⟩⟨Φ+∣=∣00⟩+∣11⟩2⋅⟨00∣+∣⟨11∣2=∣00⟩⟨00∣+∣00⟩⟨11∣+∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣2=12(1001000000001001),ρ1=∣Φ−⟩⟨Φ−∣=∣00⟩−∣11⟩2⋅⟨00∣−∣⟨11∣2=∣00⟩⟨00∣−∣00⟩⟨11∣−∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣2=12(100−100000000−1001),ρ2=∣Ψ+⟩⟨Ψ+∣=∣01⟩+∣10⟩2⋅⟨01∣+∣⟨10∣2=∣01⟩⟨01∣+∣01⟩⟨10∣+∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣2=12(0000011001100000),ρ3=∣Ψ−⟩⟨Ψ−∣=∣01⟩−∣10⟩2⋅⟨01∣−∣⟨10∣2=∣01⟩⟨01∣−∣01⟩⟨10∣−∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣2=12(000001−100−1100000).\begin{aligned} \rho_0 = |\Phi^+\rangle \langle\Phi^+| &= \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt2} \cdot \frac{\langle00| + |\langle11|}{\sqrt2}\\ &= \frac{|00\rangle\langle00| + |00\rangle\langle11| + |11\rangle\langle00| + |11\rangle\langle11|}{2} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\\\\ \rho_1 = |\Phi^-\rangle \langle\Phi^-| &= \frac{|00\rangle - |11\rangle}{\sqrt2} \cdot \frac{\langle00| - |\langle11|}{\sqrt2}\\ &= \frac{|00\rangle\langle00| - |00\rangle\langle11| - |11\rangle\langle00| + |11\rangle\langle11|}{2} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\\\\ \rho_2 = |\Psi^+\rangle \langle\Psi^+| &= \frac{|01\rangle + |10\rangle}{\sqrt2} \cdot \frac{\langle01| + |\langle10|}{\sqrt2}\\ &= \frac{|01\rangle\langle01| + |01\rangle\langle10| + |10\rangle\langle01| + |10\rangle\langle10|}{2} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\\\\ \rho_3 = |\Psi^-\rangle \langle\Psi^-| &= \frac{|01\rangle - |10\rangle}{\sqrt2} \cdot \frac{\langle01| - |\langle10|}{\sqrt2}\\ &= \frac{|01\rangle\langle01| - |01\rangle\langle10| - |10\rangle\langle01| + |10\rangle\langle10|}{2} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{aligned} ρ0​=∣Φ+⟩⟨Φ+∣ρ1​=∣Φ−⟩⟨Φ−∣ρ2​=∣Ψ+⟩⟨Ψ+∣ρ3​=∣Ψ−⟩⟨Ψ−∣​=2​∣00⟩+∣11⟩​⋅2​⟨00∣+∣⟨11∣​=2∣00⟩⟨00∣+∣00⟩⟨11∣+∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣​=21​⎝⎜⎜⎛​1001​0000​0000​1001​⎠⎟⎟⎞​,=2​∣00⟩−∣11⟩​⋅2​⟨00∣−∣⟨11∣​=2∣00⟩⟨00∣−∣00⟩⟨11∣−∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣​=21​⎝⎜⎜⎛​100−1​0000​0000​−1001​⎠⎟⎟⎞​,=2​∣01⟩+∣10⟩​⋅2​⟨01∣+∣⟨10∣​=2∣01⟩⟨01∣+∣01⟩⟨10∣+∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣​=21​⎝⎜⎜⎛​0000​0110​0110​0000​⎠⎟⎟⎞​,=2​∣01⟩−∣10⟩​⋅2​⟨01∣−∣⟨10∣​=2∣01⟩⟨01∣−∣01⟩⟨10∣−∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣​=21​⎝⎜⎜⎛​0000​01−10​0−110​0000​⎠⎟⎟⎞​.​
2. 依次计算 ρ02,ρ12,ρ22,ρ32\rho_0^2, \rho_1^2, \rho_2^2, \rho_3^2ρ02​,ρ12​,ρ22​,ρ32​ 如下：
   ρ02=∣00⟩⟨00∣+∣00⟩⟨11∣+∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣2⋅∣00⟩⟨00∣+∣00⟩⟨11∣+∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣2=2(∣00⟩⟨00∣+∣00⟩⟨11∣+∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣)4=12(1001000000001001),ρ12=∣00⟩⟨00∣−∣00⟩⟨11∣−∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣2⋅∣00⟩⟨00∣−∣00⟩⟨11∣−∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣2=2(∣00⟩⟨00∣−∣00⟩⟨11∣+∣11⟩⟨00∣−∣11⟩⟨11∣)4=12(100−100000000−1001),ρ22=∣01⟩⟨01∣+∣01⟩⟨10∣+∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣2⋅∣01⟩⟨01∣+∣01⟩⟨10∣+∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣2=2(∣01⟩⟨01∣+∣01⟩⟨10∣+∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣)4=12(0000011001100000),ρ22=∣01⟩⟨01∣−∣01⟩⟨10∣−∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣2⋅∣01⟩⟨01∣−∣01⟩⟨10∣−∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣2=2(∣01⟩⟨01∣−∣01⟩⟨10∣−∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣)4=12(000001−100−1100000).\begin{aligned} \rho_0^2 &= \frac{|00\rangle\langle00| + |00\rangle\langle11| + |11\rangle\langle00| + |11\rangle\langle11|}{2} \cdot \frac{|00\rangle\langle00| + |00\rangle\langle11| + |11\rangle\langle00| + |11\rangle\langle11|}{2}\\ &= \frac{2(|00\rangle\langle00| + |00\rangle\langle11| + |11\rangle\langle00| + |11\rangle\langle11|)}{4} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\\\\ \rho_1^2 &= \frac{|00\rangle\langle00| - |00\rangle\langle11| - |11\rangle\langle00| + |11\rangle\langle11|}{2} \cdot \frac{|00\rangle\langle00| - |00\rangle\langle11| - |11\rangle\langle00| + |11\rangle\langle11|}{2}\\ &= \frac{2(|00\rangle\langle00| - |00\rangle\langle11| + |11\rangle\langle00| - |11\rangle\langle11|)}{4} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\\\\ \rho_2^2 &= \frac{|01\rangle\langle01| + |01\rangle\langle10| + |10\rangle\langle01| + |10\rangle\langle10|}{2} \cdot \frac{|01\rangle\langle01| + |01\rangle\langle10| + |10\rangle\langle01| + |10\rangle\langle10|}{2}\\ &= \frac{2(|01\rangle\langle01| + |01\rangle\langle10| + |10\rangle\langle01| + |10\rangle\langle10|)}{4} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\\\\ \rho_2^2 &= \frac{|01\rangle\langle01| - |01\rangle\langle10| - |10\rangle\langle01| + |10\rangle\langle10|}{2} \cdot \frac{|01\rangle\langle01| - |01\rangle\langle10| - |10\rangle\langle01| + |10\rangle\langle10|}{2}\\ &= \frac{2(|01\rangle\langle01| - |01\rangle\langle10| - |10\rangle\langle01| + |10\rangle\langle10|)}{4} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{aligned} ρ02​ρ12​ρ22​ρ22​​=2∣00⟩⟨00∣+∣00⟩⟨11∣+∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣​⋅2∣00⟩⟨00∣+∣00⟩⟨11∣+∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣​=42(∣00⟩⟨00∣+∣00⟩⟨11∣+∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣)​=21​⎝⎜⎜⎛​1001​0000​0000​1001​⎠⎟⎟⎞​,=2∣00⟩⟨00∣−∣00⟩⟨11∣−∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣​⋅2∣00⟩⟨00∣−∣00⟩⟨11∣−∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣​=42(∣00⟩⟨00∣−∣00⟩⟨11∣+∣11⟩⟨00∣−∣11⟩⟨11∣)​=21​⎝⎜⎜⎛​100−1​0000​0000​−1001​⎠⎟⎟⎞​,=2∣01⟩⟨01∣+∣01⟩⟨10∣+∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣​⋅2∣01⟩⟨01∣+∣01⟩⟨10∣+∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣​=42(∣01⟩⟨01∣+∣01⟩⟨10∣+∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣)​=21​⎝⎜⎜⎛​0000​0110​0110​0000​⎠⎟⎟⎞​,=2∣01⟩⟨01∣−∣01⟩⟨10∣−∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣​⋅2∣01⟩⟨01∣−∣01⟩⟨10∣−∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣​=42(∣01⟩⟨01∣−∣01⟩⟨10∣−∣10⟩⟨01∣+∣10⟩⟨10∣)​=21​⎝⎜⎜⎛​0000​01−10​0−110​0000​⎠⎟⎟⎞​.​
3. 计算 tr(ρ2)tr(\rho^2)tr(ρ2)：易知，tr(ρ02)=tr(ρ12)=tr(ρ22)=tr(ρ32)=1.tr(\rho_0^2) = tr(\rho_1^2) = tr(\rho_2^2) = tr(\rho_3^2) = 1.tr(ρ02​)=tr(ρ12​)=tr(ρ22​)=tr(ρ32​)=1.

由此可见，两量子比特系统中的四种贝尔态均为纯态。

注意：虽然处于贝尔态的两量子比特系统 ABABAB 整体呈现为纯态，但若只关注该系统中的其中单量子比特系统 AAA，则该系统处于混态。我们不妨以 ∣Φ+⟩|\Phi^+\rangle∣Φ+⟩ 为例，通过计算偏迹（partial trace）来验证这一点：
ρAB=∣Φ+⟩⟨Φ+∣=∣00⟩+∣11⟩2⋅⟨00∣+∣⟨11∣2=∣00⟩⟨00∣+∣00⟩⟨11∣+∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣2,ρA=trB(ρAB)=tr2(∣00⟩⟨00∣)+tr2(∣11⟩⟨00∣)+tr2(∣00⟩⟨11∣)+tr2(∣11⟩⟨11∣)2=∣0⟩⟨0∣⟨0∣0⟩+∣1⟩⟨0∣⟨0∣1⟩+∣0⟩⟨1∣⟨1∣0⟩+∣1⟩⟨1∣⟨1∣1⟩2=∣0⟩⟨0∣+∣1⟩⟨1∣2=I2.\begin{aligned} \rho^{AB} = |\Phi^+\rangle \langle\Phi^+| &= \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt2} \cdot \frac{\langle00| + |\langle11|}{\sqrt2}\\ &= \frac{|00\rangle\langle00| + |00\rangle\langle11| + |11\rangle\langle00| + |11\rangle\langle11|}{2},\\ \rho^A = tr_B(\rho^{AB}) &= \frac{tr_{2}(|00\rangle\langle 00|)+tr_{2}(|11\rangle\langle 00|)+tr_{2}(|00\rangle\langle 11|)+tr_{2}(|11\rangle\langle 11|)}{2} \\ &=\frac{|0\rangle\langle 0|\langle 0 | 0\rangle+| 1\rangle\langle 0|\langle 0 | 1\rangle+| 0\rangle\langle 1|\langle 1 | 0\rangle+| 1\rangle\langle 1|\langle 1 | 1\rangle}{2} \\ &=\frac{|0\rangle\langle 0|+| 1\rangle\langle 1|}{2} \\ &=\frac{I}{2} . \end{aligned} ρAB=∣Φ+⟩⟨Φ+∣ρA=trB​(ρAB)​=2​∣00⟩+∣11⟩​⋅2​⟨00∣+∣⟨11∣​=2∣00⟩⟨00∣+∣00⟩⟨11∣+∣11⟩⟨00∣+∣11⟩⟨11∣​,=2tr2​(∣00⟩⟨00∣)+tr2​(∣11⟩⟨00∣)+tr2​(∣00⟩⟨11∣)+tr2​(∣11⟩⟨11∣)​=2∣0⟩⟨0∣⟨0∣0⟩+∣1⟩⟨0∣⟨0∣1⟩+∣0⟩⟨1∣⟨1∣0⟩+∣1⟩⟨1∣⟨1∣1⟩​=2∣0⟩⟨0∣+∣1⟩⟨1∣​=2I​.​
很明显，tr((I2)2)=12<1tr((\frac{I}{2})^2) = \frac{1}{2} < 1tr((2I​)2)=21​<1，因此量子系统 AAA 处于混态。

References

[1] M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information (Cambridge University Press, 2012).
[2] 量易简-量子纠缠与贝尔不等式.
[3] 量子态和密度矩阵，迹和偏迹的数学表示.