Elastic pendulum

理论学习

参考文献

弹性摆问题简述：
一个有质量的小球与一个弹簧相连接，受到重力，在二维平面内进行摆动。在运动的过程中，既需要考虑简单摆的重力势能与动能相转化的问题，也需要考虑弹簧的弹性势能与其他形式的能量互相转化。

问题分析：

需要与该问题区分的是：
（1）受重力作用的有质量小球与无质量弹簧相连，在竖直维度上进行摆动。这是一类简谐运动。
（2）简单的（硬性杆的）钟摆问题

该系统是混沌（chaotic）的，并且对于初始值的设置比较敏感

弹性摆的运动可以被描述为一组耦合的常微分方程O.D.E.，较之钟摆问题，弹簧的弹性为系统增加了一个额外的自由度。当弹簧压缩变短时，由于角动量守恒，更短的半径会使得弹簧摆动更快。

公式定义：

弹簧原长为l0，拉伸长度为x，弹簧摆动的角度为theta，设T为动能kinetic energy，V为势能potential energy。该问题在能量上是小球的动能、弹簧弹性势能、小球重力势能三者的相互转换，期望通过能量守恒的角度找到物体运动方程

拉格朗日函数L如下：
L=T-V
可参考文献

有胡克定律，有弹簧的弹性势能：
Vk=12kx2V_k = \frac{1}{2}kx^2Vk​=21​kx2

重力势能：
Vg=−gm(l0+x)cosθV_g = -gm(l_0+x)cos \thetaVg​=−gm(l0​+x)cosθ

动能：
T=12mv2T = \frac{1}{2}mv^2T=21​mv2

对于该系统，速度显然需要用弹簧伸长量和偏转角度来替代表示
将速度分解为沿弹簧方向和垂直于弹簧方向：
T=12m(x˙2+(l0+x)2θ˙2)T = \frac{1}{2}m(\dot x^2 + (l_0 + x)^2 \dot \theta ^2)T=21​m(x˙2+(l0​+x)2θ˙2)

将拉格朗日方程改写如下
L=T−Vk−VgL = T- V_k - V_gL=T−Vk​−Vg​
L[x,x˙,θ,θ˙]=12mv2−12kx2+gm(l0+x)cosθL[x, \dot x, \theta, \dot \theta] = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}kx^2 +gm(l_0+x)cos \thetaL[x,x˙,θ,θ˙]=21​mv2−21​kx2+gm(l0​+x)cosθ

由于有两个自由度 x 和 theta ，使用Euler- Lagrange 等式可以得到运动方程：
∂L∂x−ddt∂L∂x˙=0\frac {\partial L}{ \partial x} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot x} = 0∂x∂L​−dtd​∂x˙∂L​=0

∂L∂θ−ddt∂L∂θ˙=0\frac {\partial L}{ \partial \theta} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot \theta} = 0∂θ∂L​−dtd​∂θ˙∂L​=0

代入L，对于x：
m(l0+x)θ˙2−kx+gmcosθ−mx¨=0m(l_0 + x) \dot \theta ^2 - kx +gm cos\theta -m \ddot x = 0m(l0​+x)θ˙2−kx+gmcosθ−mx¨=0

代入L，对于theta
−gm(l0+x)sinθ−m(l0+x)2θ¨−2m(l0+x)x˙θ˙=0-gm(l_0+x)sin\theta - m(l_0 +x)^2 \ddot \theta -2m(l_0 +x)\dot x \dot \theta = 0−gm(l0​+x)sinθ−m(l0​+x)2θ¨−2m(l0​+x)x˙θ˙=0

得到两个耦合的常微分方程：

x¨=(l0+x)θ˙2−kmx+gcosθ\ddot x = (l_0 + x)\dot \theta ^2 - \frac{k}{m}x+gcos\thetax¨=(l0​+x)θ˙2−mk​x+gcosθ
θ¨=−gl0+xsinθ−2x˙l0+xθ˙\ddot \theta = - \frac {g}{l_0 + x }sin \theta - \frac{2\dot x}{l_0 + x }\dot \theta θ¨=−l0​+xg​sinθ−l0​+x2x˙​θ˙