要自定义ASP.NET Core API中的未授权响应体，您可以使用中间件来捕获未授权的请求，并返回自定义的响应。

以下是一个示例解决方案：

1. 创建一个自定义中间件类，用于捕获未授权的请求并返回自定义的响应体。

using System.Threading.Tasks;
using Microsoft.AspNetCore.Http;

public class UnauthorizedMiddleware
{
    private readonly RequestDelegate _next;

    public UnauthorizedMiddleware(RequestDelegate next)
    {
        _next = next;
    }

    public async Task Invoke(HttpContext context)
    {
        await _next(context);

        if (context.Response.StatusCode == 401)
        {
            // 处理未授权的请求
            await context.Response.WriteAsync("自定义未授权响应体");
        }
    }
}

2. 在Startup.cs文件的Configure方法中使用自定义中间件。

public void Configure(IApplicationBuilder app, IHostingEnvironment env)
{
    // 其他中间件...

    app.UseMiddleware(); // 添加自定义中间件

    // 其他中间件...
}

现在，当未授权的请求发生时，中间件将捕获该请求并返回自定义的未授权响应体。您可以根据需要修改UnauthorizedMiddleware类中的逻辑以满足您的要求。