参考

代码随想录

题目一：LeetCode 343.整数拆分

1. 确定dp数组及其下标的含义
   dp[i]为整数i拆分后得到的最大化乘积。
2. 确定递推公式
   dp[i]可以有两种方式得到：

• dp[i] = j * (i-j)，即只拆分成两个数，其中1 <= j <= i/2，最终dp[i]应该是所有j取值得到dp[i]中的最大值
• dp[i] = j * dp[i-j]，这种情况相当于将整数i拆分成多个数，因为其中的dp[i-j]已经被拆分过了，至少被拆分成两个数，具体拆分成多少个数不用去管，其中1 <= j <= i/2，同样dp[i]也是所有取值中的最大值。

在具体的代码实现上，dp[i] = max(dp[i],j * (i - j),j * dp[i - j])，这样对于每个i，只需要遍历一遍j就可以得到dp[i]了。把dp[i]放到max函数中的目的就是不断更新最大值。

3. 初始化dp数组
   i = 0或1时，dp[i]是用不到的，所以不需要初始化只需要将dp[2]初始化为1，即dp[2] = 1。

4. 确定遍历顺序
   对于i，dp[i]需要由dp[i-j]来确定，所以i应该从小到大遍历；对于j，既可以从大到小也可以从小到大。

5. 举例推导dp数组
   以n = 10为例，根据下面的递推公式进行推导：

dp[i] = max(dp[i],j * (i - j),j * dp[i - j])，其中3 <= i <= 10，1 <= j <= i/2

推导得到的dp数组为[1,2,4,6,9,12,18,27,36]（注意下标从2开始），因此dp[10] = 36。

具体的代码实现如下：

class Solution {
public:int integerBreak(int n) {vector dp(n+1);dp[2] = 1;for(int i = 3; i <= n; i++)for(int j = 1; j <= i/2; j++)dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]));return dp[n];}
};

题目二：LeetCode 96.不同的二叉搜索树

感觉这个题更像是找规律的题目，但是这个规律很难看出来。
dp[3]就是元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量

元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量

元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量

元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量

有2个元素的搜索树数量就是dp[2]。

有1个元素的搜索树数量就是dp[1]。

有0个元素的搜索树数量就是dp[0]。

所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[i] ： 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。
2. 确定递推公式
   dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ，j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量
3. dp数组如何初始化
   初始化，只需要初始化dp[0]就可以了，推导的基础，都是dp[0]。根据递推公式，dp[0] = 1.
4. 确定遍历顺序
   首先一定是遍历节点数，从递归公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出，节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态，用j来遍历。
5. 举例推导dp数组
   当 n = 5时，dp数组为[1,1,2,5,14,42]

整体代码实现如下：

class Solution {
public:int numTrees(int n) {vector dp(n + 1);dp[0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= i; j++) {dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];}}return dp[n];}
};