在AWS API Gateway返回的响应出错时，可以通过以下方式解决：

1. 检查Lambda函数中的代码：首先检查与API Gateway集成的Lambda函数的代码，确保没有任何错误。确保代码逻辑正确并且没有任何异常抛出。可以使用日志记录和调试工具来检查Lambda函数中的错误和异常。

2. 检查API Gateway配置：确保API Gateway的配置正确。检查资源路径、HTTP方法和集成设置是否正确。确保API Gateway与Lambda函数之间的集成设置正确。

3. 检查权限和角色：确保API Gateway具有执行Lambda函数的适当权限和角色。确保Lambda函数可以从API Gateway调用并返回数据。可以使用IAM控制台来检查和更新权限和角色。

4. 检查网络连接：确保API Gateway和Lambda函数之间的网络连接正常。检查网络配置、子网和安全组设置是否正确。确保API Gateway可以访问Lambda函数并返回数据。

5. 查看API Gateway日志：查看API Gateway的日志，以获取更多的错误和异常信息。可以在CloudWatch控制台中查看和分析API Gateway的日志。

下面是一个示例代码，用于在Lambda函数中处理API Gateway返回的错误响应：

import json

def lambda_handler(event, context):
    try:
        # 处理业务逻辑
        result = process_request(event)
        response = {
            "statusCode": 200,
            "body": json.dumps(result)
        }
    except Exception as e:
        # 处理异常并返回错误响应
        response = {
            "statusCode": 500,
            "body": json.dumps({
                "message": "内部服务器错误"
            })
        }
    
    return response

在这个示例中，如果业务逻辑抛出任何异常，Lambda函数将捕获异常并返回一个包含错误消息的响应。