要解决AWS API Gateway缺少'Access-Control-Allow-Origin'头部的问题，你可以通过以下两种方法来添加该头部。

方法一：使用API Gateway控制台

1. 登录AWS管理控制台，导航到API Gateway。
2. 选择你的API。
3. 在左侧导航栏中，选择“资源”。
4. 选择你想要添加'Access-Control-Allow-Origin'头部的资源。
5. 在资源的操作列表中选择“方法执行”。
6. 在方法执行页面中，展开“集成请求”部分。
7. 在“集成请求”部分下方的“集成响应”部分，展开“模板映射”。
8. 找到“Content-Type”的映射，并展开该映射。
9. 在映射中添加以下代码片段：

#set($context.responseOverride.header.Access-Control-Allow-Origin = "$method.request.header.origin")

10. 保存并部署你的API。

方法二：使用AWS CLI

1. 打开终端并安装AWS CLI（如果尚未安装）。
2. 运行以下命令配置你的AWS CLI：

aws configure

3. 运行以下命令添加'Access-Control-Allow-Origin'头部：

aws apigateway update-integration-response \
    --rest-api-id YOUR_API_ID \
    --resource-id YOUR_RESOURCE_ID \
    --http-method YOUR_HTTP_METHOD \
    --status-code YOUR_STATUS_CODE \
    --patch-operations op='add',path='/responseParameters/method.response.header.Access-Control-Allow-Origin',value="'*'"

确保将YOUR_API_ID，YOUR_RESOURCE_ID，YOUR_HTTP_METHOD和YOUR_STATUS_CODE替换为你的API的相应值。

这些方法将在API的响应中添加'Access-Control-Allow-Origin'头部，允许跨域访问。请记住，在添加该头部之后，需要保存和部署你的API才能使更改生效。