要解决AWS API网关中未经授权的用户无法执行的问题，可以按照以下步骤进行操作：

1. 首先，确保你拥有足够的权限来对API网关进行更改。可以使用具有适当权限的IAM用户或角色登录到AWS管理控制台。

2. 打开AWS API网关控制台，并找到你想要更改权限的API。

3. 在API网关控制台中，选择“资源”选项卡。

4. 在资源列表中，选择你想要更改权限的特定资源。

5. 在资源的“方法执行”部分，找到你想要更改权限的HTTP方法（如GET、POST等）。

6. 单击所选HTTP方法旁边的“授权”按钮。

7. 在弹出的对话框中，选择“自定义授权”。

8. 在“授权类型”下拉菜单中，选择“AWS_IAM”。

9. 单击“授权”按钮以保存更改。

10. 现在，只有在提供正确的AWS IAM凭证的情况下，才能执行该API方法。

下面是一个使用AWS SDK for JavaScript（例如Node.js）调用经过授权的API网关的示例代码：

const AWS = require('aws-sdk');
const apigateway = new AWS.APIGateway();

const params = {
  restApiId: 'your_rest_api_id',
  stageName: 'your_stage_name',
  httpMethod: 'GET',
  resourceId: 'your_resource_id',
};

apigateway.invokeAuthorizer(params, function(err, data) {
  if (err) {
    console.log(err, err.stack);
  } else {
    console.log(data);
  }
});

请注意，上述代码中的参数值需要替换为你自己的API网关特定值。

通过执行上述步骤和使用适当的授权类型，你可以确保只有经过授权的用户才能成功执行API网关中的方法。