在AWS API Gateway中，您可以使用Body Mapping Templates来处理请求和响应的数据。对于获取当前日期时间的需求，您可以使用VTL（Velocity Template Language）来编写一个Body Mapping模板。

以下是一个示例解决方案，假设您正在使用Lambda集成：

1. 在API Gateway中，打开您的API，并转到请求/响应模型。

2. 在请求模型中，将Content-Type设置为"application/json"。

3. 在请求模型中，添加一个Body Mapping模板。选择"Mapping Template"，然后选择"application/json"。在编辑器中，输入以下代码：

{
  "dateTime": "$input.params().header.get('X-Amz-Date')"
}

此代码会将当前日期时间存储在dateTime变量中。您还可以根据需要更改变量名称。

4. 保存并部署API。

5. 在Lambda函数中，您可以通过读取请求的event对象来获取当前日期时间。以下是一个示例Node.js代码：

exports.handler = async (event) => {
  const dateTime = event.dateTime;
  console.log(dateTime);
};

在这个示例中，event对象是Lambda函数的输入参数，其中包含了通过API Gateway传递的请求数据。通过访问event.dateTime属性，您可以获取到当前日期时间。

请注意，这只是一个示例解决方案，您可以根据自己的需求进行修改和扩展。