要向API Gateway阶段变量添加权限，您可以使用AWS CLI的add-permission命令。下面是一个示例解决方法：

1. 首先，您需要安装并配置AWS CLI。可以使用以下命令检查AWS CLI是否已正确安装并配置：

aws --version

2. 接下来，使用以下命令创建一个Lambda函数：

aws lambda create-function \
    --function-name my-function \
    --runtime python3.8 \
    --handler lambda_function.lambda_handler \
    --role arn:aws:iam::123456789012:role/lambda-execution-role \
    --code S3Bucket=my-bucket,S3Key=my-function.zip

请注意，您需要将--role参数替换为您的Lambda执行角色的ARN，并将--code参数替换为您的Lambda函数的代码位置。

3. 创建API Gateway：

aws apigateway create-rest-api --name my-api

4. 创建资源和方法：

aws apigateway get-resources --rest-api-id  | jq '.items[] | select(.path == "/my-resource")' | jq '.id'
aws apigateway put-method --rest-api-id  --resource-id  --http-method ANY --authorization-type NONE

请注意，将替换为您的API Gateway的ID，将替换为资源的ID。

5. 授予Lambda函数对API Gateway的权限：

aws lambda add-permission \
    --function-name my-function \
    --statement-id apigateway-test-2 \
    --action lambda:InvokeFunction \
    --principal apigateway.amazonaws.com \
    --source-arn "arn:aws:execute-api:::/*/*/*"

请注意，将替换为您的AWS区域，将替换为您的AWS账户ID，将替换为您的API Gateway的ID。

6. 将Lambda函数与API Gateway集成：

aws apigateway put-integration \
    --rest-api-id  \
    --resource-id  \
    --http-method ANY \
    --type AWS_PROXY \
    --integration-http-method POST \
    --uri arn:aws:apigateway::lambda:path/2015-03-31/functions/arn:aws:lambda:::function:my-function/invocations

请注意，将替换为您的AWS区域，将替换为您的AWS账户ID。

现在，您已经成功地向API Gateway阶段变量添加了权限。您可以使用AWS CLI的其他命令来部署和管理您的API Gateway。