Day42.01背包、分割等和子集

背包问题概述

01背包：n种物品，每种物品只有1个

完全背包：n种物品，每种物品无限个

多重背包：n种物品，每种物品个数各不相同

01背包

1. dp[i][j]含义：i为[0,i]区间内的物品，任取，放到容量为j的背包里，最大价值
2. 递推公式：对于当前dp[i][j]，如果不放当前第i个物品，那么dp[i][j]就等于dp[i-1][j]，和前面物品一样；如果放入当前物品，那么为了放入当前物品，背包预留空间至少要为j-weight[i]，同时为了让背包内尽可能的多放物品，不留余地，空出来的位置，刚好够当前物品重量就够了，所以dp[i][j]等于dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]。放不放入，取最大值，dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])
3. dp数组初始化：i总是依赖i-1，j同样依赖于前面的值。因此i=0和j=0时，都需要初始化。i为0，说明只有物品0，不论重量j取多少，只要大于等于当前重量，那么价值就是物品0的价值。如果j为0，说明背包容量为0，任何物品都放不下，价值总是为0
4. 遍历顺序：外层物体遍历，内层背包容量遍历，从小到大；当然也可以调整循环顺序，只要两层都是从小到大就可以了。

void test_2_wei_bag_problem1() {vector weight = {1, 3, 4};vector value = {15, 20, 30};int bagweight = 4;// 二维数组vector> dp(weight.size(), vector(bagweight + 1, 0));// 初始化for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {dp[0][j] = value[0];}// weight数组的大小 就是物品个数for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);}}cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
}int main() {test_2_wei_bag_problem1();
}

01背包-状态压缩

观察dp递推公式，只看i，i只依赖于i-1，也就是只依赖于前一行，那就可以将二维降为一维。

1. dp[j]的含义，容量为j的背包，所背的最大价值为dp[j]
2. 递推公式：不放物品i，dp[j]=dp[j]，就是第i-1号物品的最大价值；放物品i，dp[j]=dp[j-weight[i]]+value[i]。同样，要取最大值
3. 初始化：目前dp数组只保留了容量这一维。dp[0]=0，对于非0下标，因为dp[j]的值要和其本身比大小，所以取非负的最小值就可以了，即全部初始化为0
4. 遍历顺序：外层为物品遍历，从小到大；内层为容量遍历，从大到小，当前dp需要参考前面的值，但是因为少了一维当前层还是依赖于当前层，存在覆盖，如果从小到大遍历，前面的已经算过了，会重复计算。从大到小，一样依赖于前面的，但是先计算的是后面的值，前面的值不会覆盖。二维dp不会重复的原因是，当前值，依赖的是左上方的值，不在一个维度，所以不会覆盖。一维dp数组是重复利用的，新值与旧值要分开。因为压缩了i那一维，所以必须先遍历物品。

void test_1_wei_bag_problem() {vector weight = {1, 3, 4};vector value = {15, 20, 30};int bagWeight = 4;// 初始化vector dp(bagWeight + 1, 0);for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}cout << dp[bagWeight] << endl;
}