以下是一个示例解决方案，展示了如何使用AWS Lambda和MySQL创建一个Telegram机器人，以循环发送相同的消息。

首先，确保已安装所需的库和依赖项（例如python-telegram-bot和mysql-connector-python）。

import telegram
import mysql.connector
from mysql.connector import Error

# Telegram Bot Token
TOKEN = 'YOUR_TELEGRAM_BOT_TOKEN'

# MySQL数据库连接配置
MYSQL_HOST = 'YOUR_MYSQL_HOST'
MYSQL_USER = 'YOUR_MYSQL_USER'
MYSQL_PASSWORD = 'YOUR_MYSQL_PASSWORD'
MYSQL_DATABASE = 'YOUR_MYSQL_DATABASE'

def send_message(event, context):
    try:
        # 连接到MySQL数据库
        conn = mysql.connector.connect(
            host=MYSQL_HOST,
            user=MYSQL_USER,
            password=MYSQL_PASSWORD,
            database=MYSQL_DATABASE
        )
        
        # 创建一个Telegram Bot实例
        bot = telegram.Bot(token=TOKEN)
        
        # 查询要发送的消息
        query = "SELECT message FROM messages"
        cursor = conn.cursor()
        cursor.execute(query)
        results = cursor.fetchall()
        
        # 循环发送消息
        for message in results:
            # 发送消息给Telegram用户
            bot.send_message(chat_id=event['message']['chat']['id'], text=message[0])
        
        # 关闭数据库连接
        conn.close()

    except Error as e:
        print("Error connecting to MySQL:", e)

在这个示例中，我们首先通过mysql.connector库连接到MySQL数据库。然后，我们使用telegram.Bot类创建一个Telegram Bot实例，使用提供的令牌进行身份验证。

然后，我们执行一个SQL查询来获取要发送的消息列表。在这个示例中，我们假设消息存储在messages表中，并且每条消息存储在单独的行中。

接下来，我们使用for循环遍历查询结果，并使用bot.send_message方法发送消息给Telegram用户。在这个示例中，我们假设要发送的消息是存储在每个行的第一个列（索引0）中的文本。

最后，我们关闭数据库连接。

请注意，这只是一个示例解决方案，你可能需要根据自己的需求进行适当的修改和调整。