要解决“AWS Lex和Facebook Messenger集成不起作用”的问题，首先需要确保正确配置了AWS Lex和Facebook Messenger，并且代码没有错误。以下是一些常见的解决方法和代码示例：

1. 确保AWS Lex和Facebook Messenger的凭证和设置正确，并且已经创建了Lex bot和Facebook应用。

2. 在Facebook Messenger应用中设置Webhook，将其指向AWS Lex的URL。确保订阅了以下事件：messages, messaging_postbacks, messaging_optins。

   示例代码：

   const webhook_url = "https://";
   
   // 设置Webhook
   function setupWebhook() {
       request({
           url: `https://graph.facebook.com/v15.0/me/messenger_profile?access_token=${PAGE_ACCESS_TOKEN}`,
           method: 'POST',
           json: {
               "get_started": {
                   "payload": "GET_STARTED_PAYLOAD"
               },
               "whitelisted_domains": [webhook_url]
           }
       }, (error, response, body) => {
           if (!error && response.statusCode === 200) {
               console.log("Webhook 设置成功");
           } else {
               console.error("Webhook 设置失败", error);
           }
       });
   }
   

3. 在AWS Lex中创建正确的bot，并设置正确的intents、utterances和slot types。

   示例代码：

   const lex = new AWS.LexRuntime();
   
   // 发送消息给Lex bot
   function sendToLex(message) {
       var params = {
           botAlias: 'aliasName',
           botName: 'botName',
           inputText: message,
           userId: 'userId'
       };
   
       lex.postText(params, function(err, data) {
           if (err) {
               console.log(err, err.stack);
           } else {
               console.log(data.message);
           }
       });
   }
   

4. 在Facebook Messenger的Webhook中处理收到的消息，并将其转发给AWS Lex bot。

   示例代码：

   app.post('/webhook', (req, res) => {
       const body = req.body;
   
       if (body.object === 'page') {
           body.entry.forEach(function(entry) {
               const webhookEvent = entry.messaging[0];
   
               // 处理消息
               if (webhookEvent.message) {
                   const message = webhookEvent.message.text;
   
                   // 将消息发送给Lex bot
                   sendToLex(message);
               }
           });
       }
   
       res.status(200).send('EVENT_RECEIVED');
   });
   

以上是解决“AWS Lex和Facebook Messenger集成不起作用”的一些常见方法和代码示例。根据具体情况，可能需要进一步调试和检查错误日志来找到问题的根源。