解决方案：

1. 首先，创建一个 AWS SQS 队列，并获取其队列 URL。可以使用 AWS SDK 或 AWS 控制台进行创建。

2. 创建一个 API 网关，并配置一个 POST 方法，将其集成到 SQS 队列。在方法集成配置中选择 "AWS Service"，然后选择 "SQS" 作为集成类型。填入 SQS 队列的 URL。

3. 创建一个 Lambda 函数，并将其与 API 网关的 POST 方法关联。在 Lambda 函数中，解析 API 请求中的数据，并将其发送到 SQS 队列。以下是一个使用 Python 的 Lambda 函数示例代码：

import json
import boto3

def lambda_handler(event, context):
    # 解析 API 请求中的数据
    data = event['body']
    
    # 发送数据到 SQS 队列
    sqs = boto3.client('sqs')
    queue_url = 'YOUR_SQS_QUEUE_URL'
    response = sqs.send_message(
        QueueUrl=queue_url,
        MessageBody=data
    )
    
    # 返回响应
    return {
        'statusCode': 200,
        'body': json.dumps('Message sent to SQS queue')
    }

4. 创建一个数据库（如 Amazon RDS），并记录 Lambda 函数中发送到 SQS 队列的数据。可以使用 Lambda 函数中的数据库连接来执行 INSERT 操作。以下是一个使用 Python 的 Lambda 函数示例代码：

import json
import boto3
import pymysql

def lambda_handler(event, context):
    # 解析 API 请求中的数据
    data = event['body']
    
    # 发送数据到 SQS 队列
    sqs = boto3.client('sqs')
    queue_url = 'YOUR_SQS_QUEUE_URL'
    response = sqs.send_message(
        QueueUrl=queue_url,
        MessageBody=data
    )
    
    # 将数据记录到数据库
    connection = pymysql.connect(
        host='YOUR_DB_HOST',
        user='YOUR_DB_USERNAME',
        password='YOUR_DB_PASSWORD',
        database='YOUR_DB_NAME'
    )
    cursor = connection.cursor()
    sql = "INSERT INTO YOUR_TABLE_NAME (data) VALUES (%s)"
    cursor.execute(sql, (data,))
    connection.commit()
    
    # 关闭数据库连接
    cursor.close()
    connection.close()
    
    # 返回响应
    return {
        'statusCode': 200,
        'body': json.dumps('Message sent to SQS queue and recorded in database')
    }

上述代码示例中的 YOUR_SQS_QUEUE_URL、YOUR_DB_HOST、YOUR_DB_USERNAME、YOUR_DB_PASSWORD、YOUR_DB_NAME、YOUR_TABLE_NAME 需要根据实际情况进行替换。

通过以上步骤，您将能够使用 AWS SQS、API 网关、Lambda 和数据库来处理和存储数据。