1. 确认 API Gateway 上部署的 REST API 是否已经发布，且部署环境是否正确。可以通过 API Gateway 控制台查看发布状态，或者通过 AWS CLI 命令查询，如下所示：

aws apigateway get-deployments --rest-api-id YOUR_REST_API_ID

2. 检查 API Gateway 的资源路径和资源方法是否正确配置。可以通过 API Gateway 控制台查看配置，或者通过 AWS CLI 命令查询，如下所示：

aws apigateway get-resources --rest-api-id YOUR_REST_API_ID

3. 检查集成方法是否正确配置。如果使用了 Lambda 函数集成，需要确保 Lambda 函数已经上传并部署到正确的区域，且函数代码没有问题。可以通过 Lambda 控制台查看函数状态和日志信息。

4. 检查 API Gateway 的权限设置是否正确。如果使用了 IAM 角色来控制 API 访问权限，需要确保角色配置正确。可以通过 IAM 控制台查看角色权限策略。

5. 检查 HTTPS 请求的证书是否有效。如果使用了自定义域名和 SSL 证书，需要确保证书已经配置正确，且在 HTTPS 请求中正确引用了证书。

6. 最后，可以通过 CloudWatch Logs 查看 API Gateway 的日志信息，检查是否有错误或异常。可以通过 API Gateway 控制台配置日志输出到 CloudWatch Logs。