1、题目

给定一个数 NNN，想象只由 0 和 1 两种字符组成的所欲长度为 NNN 的字符串。

如果某个字符串，任何 0 字符的左边都有 1 紧挨着，认为这个字符串达标。

返回有多少达标的字符串。

2、思路

前几项推导：

两种解法：

1、观察法：1,2,3,5,8,131,2,3,5,8,131,2,3,5,8,13 的斐波那契数列

2、尝试法：

定义一个函数 int f(int i)，f(i)f(i)f(i) 的含义是还有 iii 个格子需要填（填 0 或 1），但是有个潜台词——这 iii 个格子的前一个位置一定是 1 的情况下有多少个达标的。

如果 N=6N=6N=6，则函数调用的是 f(5)f(5)f(5)，因为第 1 个格子一定是 1，剩下的 5 个格子需要填。

在已经确定了 iii 个格子的前一个位置是 1 的情况下，有多少种填法：

• 1）iii 个格子的第一个位置填 1，则满足了 f(i−1)f(i-1)f(i−1) 达标的条件
• 2）iii 个格子的第一个位置填 0，则第二个位置一定要填 1 才可能达标，此时满足了 f(i−2)f(i-2)f(i−2) 达标的条件

所以：f(i)=f(i−1)+f(i−2)f(i) = f(i-1) + f(i-2)f(i)=f(i−1)+f(i−2)

public class Code03_ZeroLeftOneStringNumber {//方法一：递归public static int getNum1(int n) {if (n < 1) {return 0;}return process(1, n);}public static int process(int i, int n) {if (i == n - 1) {return 2;}if (i == n) {return 1;}//第 i个格子填1 + 第 i 个格子填0，则i+1一定填1return process(i + 1, n) + process(i + 2, n);}//方法2：递归public static int getNum2(int n) {if (n < 1) {return 0;}if (n == 1) {return 1;}int pre = 1;int cur = 1;int tmp = 0;for (int i = 2; i < n + 1; i++) {tmp = cur;cur += pre;pre = tmp;}return cur;}//方法3：矩阵乘法public static int getNum3(int n) {if (n < 1) {return 0;}if (n == 1 || n == 2) {return n;}int[][] base = { { 1, 1 }, { 1, 0 } };int[][] res = matrixPower(base, n - 2);return 2 * res[0][0] + res[1][0];}public static int[][] matrixPower(int[][] m, int p) {int[][] res = new int[m.length][m[0].length];for (int i = 0; i < res.length; i++) {res[i][i] = 1;}int[][] tmp = m;for (; p != 0; p >>= 1) {if ((p & 1) != 0) {res = product(res, tmp);}tmp = product(tmp, tmp);}return res;}// 两个矩阵乘完之后的结果返回public static int[][] product(int[][] a, int[][] b) {int n = a.length;int m = b[0].length;int k = a[0].length; // a的列数同时也是b的行数int[][] ans = new int[n][m];for(int i = 0 ; i < n; i++) {for(int j = 0 ; j < m;j++) {for(int c = 0; c < k; c++) {ans[i][j] += a[i][c] * b[c][j];}}}return ans;}public static void main(String[] args) {for (int i = 0; i != 20; i++) {System.out.println(getNum1(i));System.out.println(getNum2(i));System.out.println(getNum3(i));System.out.println("===================");}}
}