要保存和恢复Chrome扩展中多个复选框的选中状态，可以使用Chrome的存储API来实现。以下是一个示例代码：

1. 首先，在扩展的manifest.json文件中添加"storage"权限：

{
  "manifest_version": 2,
  "name": "My Extension",
  "version": "1.0",
  "permissions": ["storage"],
  "background": {
    "scripts": ["background.js"],
    "persistent": false
  },
  "options_page": "options.html",
  "browser_action": {
    "default_popup": "popup.html"
  }
}

2. 在options.html文件中添加复选框：

  


  
Options
  
     Checkbox 1
  
  
     Checkbox 2
  
  
     Checkbox 3
  
  

3. 在options.js文件中保存和恢复复选框的选中状态：

document.addEventListener('DOMContentLoaded', function() {
  // 从存储中获取选中状态
  chrome.storage.sync.get(['checkbox1', 'checkbox2', 'checkbox3'], function(result) {
    // 更新复选框的选中状态
    document.getElementById('checkbox1').checked = result.checkbox1;
    document.getElementById('checkbox2').checked = result.checkbox2;
    document.getElementById('checkbox3').checked = result.checkbox3;
  });

  // 监听复选框的更改事件
  document.getElementById('checkbox1').addEventListener('change', function() {
    // 保存复选框的选中状态
    chrome.storage.sync.set({checkbox1: this.checked});
  });

  document.getElementById('checkbox2').addEventListener('change', function() {
    chrome.storage.sync.set({checkbox2: this.checked});
  });

  document.getElementById('checkbox3').addEventListener('change', function() {
    chrome.storage.sync.set({checkbox3: this.checked});
  });
});

4. 最后，在background.js文件中可选地清除存储：

chrome.runtime.onInstalled.addListener(function() {
  // 清除存储，以便每次安装或更新扩展时重置选中状态
  chrome.storage.sync.clear();
});

这样，每当用户更改复选框的选中状态时，状态将保存在浏览器的存储中。当用户重新打开扩展或浏览器时，选中状态将从存储中恢复。