小问题

证明：nlog⁡2n=nlog⁡n(log⁡2n)+1n\log_2n=n^{\log_n(\log_2n)+1}nlog2​n=nlogn​(log2​n)+1

设 nlog⁡2n=nan\log_2n=n^anlog2​n=na。

两侧同时除以 nnn ，得：

na−1=log⁡2n\ n^{a-1}=\log_2n na−1=log2​n

a−1=log⁡n(log⁡2n)a-1=\log_n(\log_2n)a−1=logn​(log2​n)

a=log⁡n(log⁡2n)+1\ \ \ \ \ \ \ a=\log_n(\log_2n)+1       a=logn​(log2​n)+1

即上述。

时间复杂度符号（通常）

T(n)T(n)T(n) 表示规模为 nnn 的问题的时间复杂度。

OOO ，小于等于。

Θ\ThetaΘ ，等于。

Ω\OmegaΩ ，大于等于。

ooo ，小于。

ω\omegaω ，大于。

主定理

应用：

对于一个规模为 nnn 的母问题分治为规模 nb\frac{n}{b}bn​ 的子问题，每次的额外时间复杂度是O(nd)O(n^d)O(nd)。

形式上，求形如 T(n)=aT(nb)+O(nd)T(n)=aT(\frac{n}{b})+O(n^d)T(n)=aT(bn​)+O(nd) 的递归式的时间复杂度。

T(n)={O(nd)d>log⁡baO(ndlog⁡2n)d=log⁡baO(nlog⁡ba)d\log_ba\\ O(n^d\log_2n) & d=\log_ba\\ O(n^{\log_ba}) & d<\log_ba \end{cases} T(n)=⎩⎨⎧​O(nd)O(ndlog2​n)O(nlogb​a)​d>logb​ad=logb​ad

上述式子为了方便，统一采用 OOO 表示。事实上，对于 OOO 、 Θ\ThetaΘ 、 Ω\OmegaΩ 有不同的式子：

forO:T(n)=aT(⌈nb⌉)+O(nd)for\ O:T(n)=aT(\lceil\frac{n}{b}\rceil)+O(n^d)for O:T(n)=aT(⌈bn​⌉)+O(nd)

forΘ:T(n)=aT(nb)+Θ(nd)for\ \Theta:T(n)=aT(\frac{n}{b})+\Theta(n^d)for Θ:T(n)=aT(bn​)+Θ(nd)

forΩ:T(n)=aT(⌊nb⌋)+Ω(nd)for\ \Omega:T(n)=aT(\lfloor\frac{n}{b}\rfloor)+\Omega(n^d)for Ω:T(n)=aT(⌊bn​⌋)+Ω(nd)