PT_二维连续型随机变量(二维均匀分布/二维正态分布)
文章目录
- 二维连续型随机变量
- 联合密度的性质
- 边缘密度函数
- 二维均匀分布
- 例
- 二维正态分布
二维连续型随机变量
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设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)
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如果存在一个非负可积函数f(x,y),对于任意的实数x,y如果存在一个非负可积函数f(x,y),对于任意的实数x,y如果存在一个非负可积函数f(x,y),对于任意的实数x,y
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F(x,y)=∫−∞x∫−∞yf(u,v)dudvF(x,y)=\int_{-\infin}^{x}\int_{-\infin}^{y}f(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v F(x,y)=∫−∞x∫−∞yf(u,v)dudv
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那么(X,Y)是一个二维连续型随机变量那么(X,Y)是一个二维连续型随机变量那么(X,Y)是一个二维连续型随机变量
- 二元函数f(x,y)是(X,Y)的(联合)概率密度函数或者联合密度二元函数f(x,y)是(X,Y)的(联合)概率密度函数或者联合密度二元函数f(x,y)是(X,Y)的(联合)概率密度函数或者联合密度
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联合密度的性质
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非负性:
- f(x,y)⩾0f(x,y)\geqslant 0f(x,y)⩾0
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规范性:
- F(x,y)=∫−∞x∫−∞yf(u,v)dudv=1F(x,y)=\int_{-\infin}^{x}\int_{-\infin}^{y}f(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v=1 F(x,y)=∫−∞x∫−∞yf(u,v)dudv=1
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二维随机变量(X,Y)落入平面区域D的概率二维随机变量(X,Y)落入平面区域D的概率二维随机变量(X,Y)落入平面区域D的概率
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等于它的密度函数f(x,y)在D上的二重积分等于它的密度函数f(x,y)在D上的二重积分等于它的密度函数f(x,y)在D上的二重积分
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P({(X,Y)∈D})简写为:P{(X,Y)∈D}P(\set{(X,Y)\in D})简写为:P\set{(X,Y)\in D}P({(X,Y)∈D})简写为:P{(X,Y)∈D}
- P{(X,Y)∈D}=∬Df(x,y)dxdyP\set{(X,Y)\in D}=\iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y P{(X,Y)∈D}=D∬f(x,y)dxdy
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如果f(x,y)在(x,y)出连续:如果f(x,y)在(x,y)出连续:如果f(x,y)在(x,y)出连续:
- ∂2F(x,y)∂x∂y=f(x,y)\frac{\partial^2{F(x,y)}}{\partial{x}\partial{y}}=f(x,y) ∂x∂y∂2F(x,y)=f(x,y)
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如果平面上D的面积为0
- P{(x,y)∈D}=0P\set{(x,y)\in{D}}=0 P{(x,y)∈D}=0
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边缘密度函数
- 对于一维随机变量X的的分布函数和密度函数之间的关系:F(x)=∫−∞xf(x)dx=∫−∞xf(u)duFX(x)=∫−∞xfX(u)duFX(x)=F(x,+∞)=∫−∞x(∫−∞+∞f(u,v)dv)du先对v积分(区间为(−∞,+∞)),此时将变量u看作常数再对u积分,积分区间为(−∞,x]对比得到X(与Y)的密度函数fX(x)=∫−∞+∞f(u,v)dv类似的:fY(y)=∫−∞+∞f(u,v)dufX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dyfY(y)=∫−∞+∞f(x,y)dx对于一维随机变量X的的分布函数和密度函数之间的关系: \\F(x)=\int_{-\infin}^{x}f(x)dx=\int_{-\infin}^{x}f(u)du \\ F_X(x)=\int_{-\infin}^{x}f_X(u)du \\ F_X(x)=F(x,+\infin) =\int_{-\infin}^{x}\left(\int_{-\infin}^{+\infin}f(u,v)\mathrm{d}{v}\right)\mathrm{d}{u} \\先对v积分(区间为(-\infin,+\infin)),此时将变量u看作常数 \\再对u积分,积分区间为(-\infin,x] \\对比得到X(与Y)的密度函数 \\ f_X(x)=\int_{-\infin}^{+\infin}f(u,v)\mathrm{d}{v} \\类似的: \\ f_Y(y)=\int_{-\infin}^{+\infin}f(u,v)\mathrm{d}{u} \\ \\f_X(x)=\int_{-\infin}^{+\infin}f(x,y)\mathrm{d}{y} \\f_Y(y)=\int_{-\infin}^{+\infin}f(x,y)\mathrm{d}{x} 对于一维随机变量X的的分布函数和密度函数之间的关系:F(x)=∫−∞xf(x)dx=∫−∞xf(u)duFX(x)=∫−∞xfX(u)duFX(x)=F(x,+∞)=∫−∞x(∫−∞+∞f(u,v)dv)du先对v积分(区间为(−∞,+∞)),此时将变量u看作常数再对u积分,积分区间为(−∞,x]对比得到X(与Y)的密度函数fX(x)=∫−∞+∞f(u,v)dv类似的:fY(y)=∫−∞+∞f(u,v)dufX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dyfY(y)=∫−∞+∞f(x,y)dx
二维均匀分布
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设D为平面有界区域,其面积为SD设D为平面有界区域,其面积为S_D设D为平面有界区域,其面积为SD
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如果二维随机变量(X,Y)的概率密度为:如果二维随机变量(X,Y)的概率密度为:如果二维随机变量(X,Y)的概率密度为:
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f(x,y)={1SD,(x,y)∈D0,elsef(x,y)=\begin{cases} \frac{1}{S_D},&(x,y)\in{D} \\0,&else \end{cases} f(x,y)={SD1,0,(x,y)∈Delse
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称(X,Y)服从区域D上的二维均匀分布(X,Y)∼UD(D)称(X,Y)服从区域D上的二维均匀分布(X,Y)\sim{U_D(D)}称(X,Y)服从区域D上的二维均匀分布(X,Y)∼UD(D)
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对于D的子区域,G⊂D的子区域,G\sub{D}的子区域,G⊂D
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P{(X,Y)∈G}=∬Gf(x,y)dxdy=∬G1SDdxdy=1SD∬Gdxdy=SGSDP\set{(X,Y)\in G}=\iint\limits_{G}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y =\iint\limits_{G}\frac{1}{S_D}\mathrm{d}x\mathrm{d}y =\frac{1}{S_D}\iint\limits_{G}\mathrm{d}x\mathrm{d}y =\frac{S_G}{S_D} P{(X,Y)∈G}=G∬f(x,y)dxdy=G∬SD1dxdy=SD1G∬dxdy=SDSG
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可见,(X,Y)落在D中的任意一个子区域G中的概率和G的面积成正比(与形状,位置都无关)(X,Y)落在D中的任意一个子区域G中的概率和G的面积成正比(与形状,位置都无关)(X,Y)落在D中的任意一个子区域G中的概率和G的面积成正比(与形状,位置都无关)
- 服从平面区域上的均匀分布的二维随机变量在该区域内的取值是等可能的
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例
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设(X,Y)服从区域D上的均匀分布区域D:x=0,y=0,2x+y=2所围成的面积设(X,Y)服从区域D上的均匀分布 \\区域D:x=0,y=0,2x+y=2所围成的面积 设(X,Y)服从区域D上的均匀分布区域D:x=0,y=0,2x+y=2所围成的面积
容易得到f(x,y)={1,(x,y)∈D0,else容易得到f(x,y)= \begin{cases} 1,&(x,y)\in{D} \\0,&else \end{cases} 容易得到f(x,y)={1,0,(x,y)∈Delse
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由2x+y=2由2x+y=2由2x+y=2
- y=2−2xy=2-2xy=2−2x
- x=2−y2x=\frac{2-y}{2}x=22−y
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A(x0,2−2x0)A(x_0,2-2x_0)A(x0,2−2x0)
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B(x0,0)B(x_0,0)B(x0,0)
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C(0,y1)C(0,y_1)C(0,y1)
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D(2−y12,y1)D(\frac{2-y_1}{2},y_1)D(22−y1,y1)
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从区域D可以看出,f(x,y)在x∉[0,1]内为0当x∈[0,1]时,f(x,y)=1;fX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dy=0+∫02−2x1dy+0=y∣02−2x=2−2x从区域D可以看出,f(x,y)在x\notin[0,1]内为0 \\当x\in[0,1]时,f(x,y)=1; \\ f_X(x)=\int_{-\infin}^{+\infin}f(x,y)dy =0+\int_{0}^{2-2x}1dy+0=y|_{0}^{2-2x}=2-2x 从区域D可以看出,f(x,y)在x∈/[0,1]内为0当x∈[0,1]时,f(x,y)=1;fX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dy=0+∫02−2x1dy+0=y∣02−2x=2−2x
从区域D可以看出,f(x,y)在y∉[0,2]内为0当x∈[0,2]时,f(x,y)=1;fX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dx=0+∫02−y21dy+0=x∣02−y2=2−y2从区域D可以看出,f(x,y)在y\notin[0,2]内为0 \\当x\in[0,2]时,f(x,y)=1; \\ f_X(x)=\int_{-\infin}^{+\infin}f(x,y)dx =0+\int_{0}^{\frac{2-y}{2}}1dy+0 =x|_{0}^{\frac{2-y}{2}}=\frac{2-y}{2} 从区域D可以看出,f(x,y)在y∈/[0,2]内为0当x∈[0,2]时,f(x,y)=1;fX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dx=0+∫022−y1dy+0=x∣022−y=22−y
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二维正态分布
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设二维随机变量(X,Y)的概率密度为:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为:
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比较和一维正态分布的密度函数的区别
- 分母:2π→2π\sqrt{2\pi}\to{2\pi}2π→2π
- 引入参数ρ引入参数\rho引入参数ρ
- 形如:(x−μ1σ1−y−μ2σ2)2形如:(\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}-\frac{y-\mu_2}{\sigma_2})^2形如:(σ1x−μ1−σ2y−μ2)2
- 展开后再为混合积乘以一个ρ\rhoρ
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f(x,y)=12πσ1σ21−ρ2e−12(1−ρ2)((x−μ1σ1)2−2ρx−μ1σ1⋅y−μ2σ2+(y−μ2σ2)2)f(x,y) =\frac{1}{{2\pi}\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \Huge e^{ \large -\frac{1}{2(1-\rho^2)} \left( (\frac{x-\mu_1}{\sigma_1})^2 -2\rho\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\cdot \frac{y-\mu_2}{\sigma_2} +(\frac{y-\mu_2}{\sigma_2})^2 \right) } f(x,y)=2πσ1σ21−ρ21e−2(1−ρ2)1((σ1x−μ1)2−2ρσ1x−μ1⋅σ2y−μ2+(σ2y−μ2)2)
令:u=u(x)=x−μ1σ1;v=v(y)=y−μ2σ2t=−12(1−ρ2)令: \\ u=u(x)=\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}; v=v(y)=\frac{y-\mu_2}{\sigma_2} \\ t={-\frac{1}{2(1-\rho^2)}} 令:u=u(x)=σ1x−μ1;v=v(y)=σ2y−μ2t=−2(1−ρ2)1
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记为:(X,Y)∼N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)记为:(X,Y)\sim{N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)}记为:(X,Y)∼N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)
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fX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dy=12πσ1σ21−ρ2∫−∞+∞et(u2+2ρuv+v2)dy=dv=1σ2dy=12πσ11−ρ2∫−∞+∞et(u2+2ρuv+v2)dvf_X(x)=\int_{-\infin}^{+\infin}f(x,y)\mathrm{d}y \\=\frac{1}{{2\pi}\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \int_{-\infin}^{+\infin}e^{t(u^2+2\rho{uv}+v^2)}\mathrm{d}y \\\xlongequal{dv=\frac{1}{\sigma_2}dy} =\frac{1}{{2\pi}\sigma_1 \sqrt{1-\rho^2}} \int_{-\infin}^{+\infin}e^{t(u^2+2\rho{uv}+v^2)}\mathrm{d}v fX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dy=2πσ1σ21−ρ21∫−∞+∞et(u2+2ρuv+v2)dydv=σ21dy=2πσ11−ρ21∫−∞+∞et(u2+2ρuv+v2)dv
t(u2+2ρuv+v2)中为了将u2分离出去,同时使得剩余部分是一个平方形式t((u2(1−ρ2)+ρ2u2)−2ρuv+v2)=−u22+t(ρ2u2−2ρuv+v2)=−u22+t((v−ρu)2)=−u22−12(1−ρ2)((v−ρu)2)\\ t(u^2+2\rho{uv}+v^2)中为了将u^2分离出去, \\同时使得剩余部分是一个平方形式 \\ t((u^2(1-\rho^2)+\rho^2u^2)-2\rho{uv}+v^2) \\=-\frac{u^2}{2}+t(\rho^2u^2-2\rho{uv}+v^2) \\=-\frac{u^2}{2}+t((v-\rho{u})^2) \\=-\frac{u^2}{2}-\frac{1}{2(1-\rho^2)}((v-\rho{u})^2) t(u2+2ρuv+v2)中为了将u2分离出去,同时使得剩余部分是一个平方形式t((u2(1−ρ2)+ρ2u2)−2ρuv+v2)=−2u2+t(ρ2u2−2ρuv+v2)=−2u2+t((v−ρu)2)=−2u2−2(1−ρ2)1((v−ρu)2)
FX(x)=12πσ1e−u22(12π1−ρ2⋅∫−∞+∞e−12(1−ρ2)((v−ρu)2dv)记Q=12π1−ρ2⋅∫−∞+∞e−12(1−ρ2)((v−ρu)2这恰好符合一维随机变量正态分布的规范性表达式,Q=1其中:随机变量取值V∼(μ,σ2);σ=1−ρ2;μ=ρu;FX(x)=12πσ1e−u22=12πσ1e−(x−μ1)22σ12\\F_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1} e^{-\frac{u^2}{2}} \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{1-\rho^2}} \cdot \int_{-\infin}^{+\infin} e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}((v-\rho{u})^2}\mathrm{d}v \right) \\ 记Q=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{1-\rho^2}} \cdot\int_{-\infin}^{+\infin} e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}((v-\rho{u})^2} \\这恰好符合一维随机变量正态分布的规范性表达式,Q=1 \\其中:随机变量取值V\sim(\mu,\sigma^2);\sigma=\sqrt{1-\rho^2};\mu=\rho{u}; \\F_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1} e^{-\frac{u^2}{2}} =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1} e^{-\frac{({x-\mu_1})^2}{2\sigma_1^2}} FX(x)=2πσ11e−2u2(2π1−ρ21⋅∫−∞+∞e−2(1−ρ2)1((v−ρu)2dv)记Q=2π1−ρ21⋅∫−∞+∞e−2(1−ρ2)1((v−ρu)2这恰好符合一维随机变量正态分布的规范性表达式,Q=1其中:随机变量取值V∼(μ,σ2);σ=1−ρ2;μ=ρu;FX(x)=2πσ11e−2u2=2πσ11e−2σ12(x−μ1)2
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边缘分布为正态分布的二维联合分布,未必是二维正态分布
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例如:f(x,y)=12πe−x2+y22(1+sinxcosy)=12π12πe−x2⋅e−y2(1+sinxcosy)=12πe−x212πe−y2(1+sinxcosy)FX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dy=12πe−x2∫−∞+∞12πe−y2(1+sinxcosy)dy=12πe−x2(∫−∞+∞12πe−y2dy+∫−∞+∞sinxcosydy)=12πe−x2(∫−∞+∞12πe−y2dy+sinx∫−∞+∞cosydy)=12πe−x2(1+0)=12πe−x2这是个标准的正态分布(X∼N(0,1))例如: \\f(x,y)=\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}(1+\sin{x}\cos{y}) \\={\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}e^{-{x^2}}\cdot e^{-y^2}(1+\sin{x}\cos{y}) \\ =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-{x^2}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-{y^2}} (1+\sin{x}\cos{y}) \\F_X(x)=\int_{-\infin}^{+\infin}f(x,y)dy \\ =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-{x^2}} \int_{-\infin}^{+\infin}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-{y^2}}(1+\sin{x}\cos{y})dy \\=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-{x^2}} (\int_{-\infin}^{+\infin}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-{y^2}}dy + \int_{-\infin}^{+\infin}\sin{x}\cos{y}\mathrm{d}y) \\ =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-{x^2}} (\int_{-\infin}^{+\infin}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-{y^2}}dy + \sin{x}\int_{-\infin}^{+\infin}\cos{y}\mathrm{d}y) \\=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-{x^2}}(1+0) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-{x^2}} \\这是个标准的正态分布(X\sim{N(0,1)}) 例如:f(x,y)=2π1e−2x2+y2(1+sinxcosy)=2π12π1e−x2⋅e−y2(1+sinxcosy)=2π1e−x22π1e−y2(1+sinxcosy)FX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dy=2π1e−x2∫−∞+∞2π1e−y2(1+sinxcosy)dy=2π1e−x2(∫−∞+∞2π1e−y2dy+∫−∞+∞sinxcosydy)=2π1e−x2(∫−∞+∞2π1e−y2dy+sinx∫−∞+∞cosydy)=2π1e−x2(1+0)=2π1e−x2这是个标准的正态分布(X∼N(0,1))
由于轮换对称,所以fY(y)也还是标准正态分布由于轮换对称,所以f_Y(y)也还是标准正态分布 由于轮换对称,所以fY(y)也还是标准正态分布
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而f(x,y)显然不是二维正态分布而f(x,y)显然不是二维正态分布而f(x,y)显然不是二维正态分布
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