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专栏地址：洛谷千题详解

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 题目描述

输入格式

输出格式

输入输出样例

解析： 

C++源码：

Java源码：

Python源码： 

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 题目描述

帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的n×m 的矩阵，矩阵中的每个元素 ai,j​ 均为非负整数。游戏规则如下：

1. 每次取数时须从每行各取走一个元素，共 n 个。经过 m 次后取完矩阵内所有元素；
2. 每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
3. 每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分 = 被取走的元素值 ×2i，其中 i 表示第 i 次取数（从 1 开始编号）；
4. 游戏结束总得分为 mm 次取数得分之和。

帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

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输入格式

输入文件包括 n+1 行：

第一行为两个用空格隔开的整数 n 和 m。

第 2∼n+1 行为 n×m 矩阵，其中每行有 m 个用单个空格隔开的非负整数。

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输出格式

输出文件仅包含 1 行，为一个整数，即输入矩阵取数后的最大得分。

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输入输出样例

输入 #1

2 3
1 2 3
3 4 2

输出 #1

82

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解析： 

求n行最大得分和，每一行取数又不会影响到其他行，那么只要确保每一行得分最大，管好自家孩子就行了。（这个在动规中叫最优子结构）

每次取数是在边缘取，那么每次取数完剩下来的元素一定是在一个完整的一个区间中，又是求最优解，区间DP应运而生。

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C++源码：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include using namespace std;const int MAXN = 85, Mod = 10000; //高精四位压缩大法好 
int n, m;
int ar[MAXN];struct HP {int p[505], len;HP() {memset(p, 0, sizeof p);len = 0;} //这是构造函数，用于直接创建一个高精度变量 void print() {printf("%d", p[len]);  for (int i = len - 1; i > 0; i--) {  if (p[i] == 0) {printf("0000"); continue;}for (int k = 10; k * p[i] < Mod; k *= 10) printf("0");printf("%d", p[i]);}} //四位压缩的输出 
} f[MAXN][MAXN], base[MAXN], ans;HP operator + (const HP &a, const HP &b) {HP c; c.len = max(a.len, b.len); int x = 0;for (int i = 1; i <= c.len; i++) {c.p[i] = a.p[i] + b.p[i] + x;x = c.p[i] / Mod;c.p[i] %= Mod;}if (x > 0)c.p[++c.len] = x;return c;
} //高精+高精 HP operator * (const HP &a, const int &b) {HP c; c.len = a.len; int x = 0;for (int i = 1; i <= c.len; i++) {c.p[i] = a.p[i] * b + x;x = c.p[i] / Mod;c.p[i] %= Mod;}while (x > 0)c.p[++c.len] = x % Mod, x /= Mod;return c;
} //高精*单精 HP max(const HP &a, const HP &b) {if (a.len > b.len)return a;else if (a.len < b.len)return b;for (int i = a.len; i > 0; i--)if (a.p[i] > b.p[i])return a;else if (a.p[i] < b.p[i])return b;return a;
} //比较取最大值 void BaseTwo() {base[0].p[1] = 1, base[0].len = 1;for (int i = 1; i <= m + 2; i++){ //这里是m! m! m! 我TM写成n调了n年... base[i] = base[i - 1] * 2;}
} //预处理出2的幂 int main(void) {scanf("%d%d", &n, &m);BaseTwo();while (n--) {memset(f, 0, sizeof f);for (int i = 1; i <= m; i++)scanf("%d", &ar[i]);for (int i = 1; i <= m; i++)for (int j = m; j >= i; j--) { //因为终值是小区间，DP自然就从大区间开始 f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j] + base[m - j + i - 1] * ar[i - 1]); f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j + 1] + base[m - j + i - 1] * ar[j + 1]);} //用结构体重载运算符写起来比较自然 HP Max;for (int i = 1; i <= m; i++)Max = max(Max, f[i][i] + base[m] * ar[i]);ans = ans + Max; //记录到总答案中 }ans.print(); //输出 return 0;
}

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Java源码：

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;public class Main {static int [] mp = new int[100];static BigInteger [] pow = new BigInteger[160];@SuppressWarnings("resource")public static void main(String[] args) {pow[0] = BigInteger.ONE;pow[1] = BigInteger.valueOf(2);for(int i = 2; i < 160; i++) {pow[i] = pow[1].pow(i);}Scanner cin = new Scanner(System.in);BigInteger ans = BigInteger.ZERO;int n=cin.nextInt(), m=cin.nextInt();for(int t = 1; t <= n; t++) {BigInteger [][] f = new BigInteger[100][100];BigInteger max = BigInteger.ZERO;for(int j = 1; j <= m; j++)mp[j]=cin.nextInt();for(int i = 0; i < 100; i++)for(int j = 0; j < 100; j++)f[i][j] = BigInteger.ZERO;for(int i = 1; i <= m; i++)for(int j = m; j > 0; j--) {f[i][j] = f[i][j].max(f[i - 1][j].add(pow[m - j + i - 1].multiply(BigInteger.valueOf(mp[i - 1]))));f[i][j] = f[i][j].max(f[i][j + 1].add(pow[m - j + i - 1].multiply(BigInteger.valueOf(mp[j + 1]))));}for(int i = 1; i <= m; i++)max = max.max(f[i][i].add(pow[m].multiply(BigInteger.valueOf(mp[i]))));ans = ans.add(max);}System.out.println(ans);}
}

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Python源码： 

matrix=[]n,m=input().split()
n,m=int(n),int(m)for i in range(n):row=input().split()row=[0]+[int(count)for count in row]+[0]#print(row)# 把列表塞到列表里形成二维列表matrix.append(row)a=[1]#a[0]=1初始化为1
#求到2^m
for i in range(m):a.append(a[i]*2)#print(a)ans=0for i in range(n):row=matrix[i]w=1#分配一个大小为m+2 * m+2的二维数组dp=[[0]*(m+2)]*(m+2)#print(dp)for st in range(1,m+1):for ed in range(m,0,-1):if ed