一、基本概念和性质

特征向量和特征值
设A为n阶矩阵，λ\lambdaλ是一个数，如果存在n维非零列向量，使得Aξ=λξA\xi = \lambda \xiAξ=λξ那么称λ\lambdaλ为A的特征值，ξ\xiξ为对应的特征向量

特征值性质
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tips:迹是矩阵的主对角线的值之和
特征向量性质

k重特征值λ\lambdaλ最多有k个线性无关的特征向量
如果ξ1,ξ2\xi_1, \xi_2ξ1,ξ2属于不同的特征值λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2λ1,λ2的特征向量，那么他们线性无关，尽管他们可能在值上完全相等
如果ξ1,ξ2\xi_1, \xi_2ξ1,ξ2属于同一的特征值λ\lambdaλ的特征向量，那么kξ1+kξ2k\xi_1+k\xi_2kξ1+kξ2仍然是特征值λ\lambdaλ的特征向量
如果ξ1,ξ2\xi_1, \xi_2ξ1,ξ2属于不同的特征值λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2λ1,λ2的特征向量，那么kξ1+kξ2k\xi_1+k\xi_2kξ1+kξ2不是A的特征向量

求解特征值和特征向量
特征方程法求解：用特征方程∣λE−A∣=0|\lambda E-A|=0∣λE−A∣=0求出特征值λ\lambdaλ，再解齐次线性方程组(λE−A)x=0(\lambda E-A)x=0(λE−A)x=0得特征向量。

另外，题目在求解其他要素时（比如说矩阵的秩，或者行列式的值）有时候会喜欢给出|bE-aA|的条件，需要联想到特征值，然后使用特征值的性质求解

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需要尤为注意的是P−1APP^{-1}APP−1AP的特征值和A保持一致，但是特征向量变为了P−1ξP^{-1}\xiP−1ξ，这对求解相似矩阵的特征向量很有用。
另外，A^T的特征值和A一致，但是特征向量需要单独计算

矩阵方阵考察特征向量

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二、矩阵的相似

1.定义
存在n阶可逆矩阵P，使得P−1AP=BP^{-1}AP=BP−1AP=B，则称A相似于B，记作A~B

2.相似矩阵的性质
如果A~B，则有：

r(A)=r(B)
|A|=|B|
tr(A)=tr(B)
矩阵特征值相等
矩阵特征值相等→∣λE−A∣=∣λE−B∣\to |\lambda E-A|=|\lambda E-B|→∣λE−A∣=∣λE−B∣

以上性质在选择题中常用于排除，也可用于求解带未知数的A～B的式子

特殊性质

A∼BA\sim BA∼B可推导出 Am∼BmA^m\sim B^mAm∼Bm并且f(A)=f(B)f(A)=f(B)f(A)=f(B)
A∼BA\sim BA∼B并且A可逆，则可推导出A−1∼B−1A^{-1}\sim B^{-1}A−1∼B−1，AT∼BTA^T\sim B^TAT∼BT，A∗∼B∗A^*\sim B^*A∗∼B∗
A∼BA\sim BA∼B可推导出Am∼BmA^m\sim B^mAm∼Bm，f(A)∼f(B)f(A)\sim f(B)f(A)∼f(B)
A∼Λ,B∼Λ⇒A∼BA\sim \Lambda, B\sim \Lambda\Rightarrow A\sim BA∼Λ,B∼Λ⇒A∼B

由于矩阵的相似是由矩阵特征值相等推导而来的，所以相似矩阵之间的关系和特征值的运算规律有很大的关系

三、矩阵相似对角化

定义
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可相似对角化的条件
设A为n阶矩阵

充要条件
- n阶矩阵A可相似对角化⇔\Leftrightarrow⇔A有n个线性无关的向量
- n阶矩阵A可相似对角化⇔ni=n−r(λE−A)\Leftrightarrow n_i=n-r(\lambda E-A)⇔ni=n−r(λE−A)，n_i是第i个特征值的重根个数
- n阶矩阵A可相似对角化⇔\Leftrightarrow⇔A对于每个ki重特征值都有ki个线性无关特征向量
充分条件
- n阶矩阵A为实对称矩阵⇒A∼Λ\Rightarrow A\sim \Lambda⇒A∼Λ
- A有n个不同的特征值⇒\Rightarrow⇒矩阵A可相似对角化
- A2=A⇒A^2=A \RightarrowA2=A⇒矩阵A可相似对角化
- A2=E⇒A^2=E \RightarrowA2=E⇒矩阵A可相似对角化
- r(A)=1r(A)=1r(A)=1并且tr(A)≠0tr(A) \neq 0tr(A)=0
必要条件
- A∼Λ⇒A\sim \Lambda \RightarrowA∼Λ⇒ r(A)=非零特征值个数
否定条件
- A≠O,Ak=O⇒A\neq O,A^k=O \RightarrowA=O,Ak=O⇒不可相似对角化
- A的特征是全为k但是A≠kE⇒A\neq kE \RightarrowA=kE⇒A不可相似对角化

TIPS：可以通过给出Λ\LambdaΛ和P^-1来反求A

四、实对称矩阵和正交矩阵

实对称矩阵的性质
实对称矩阵上的矩阵元素对称，也就是a_ij=a_ji，A^T=A
如果A为实对称矩阵，则

特征值均为实数，特征向量均为实向量
不同特征值对应特征向量正交
可用正交矩阵相似对角化，也就是存在正交矩阵P使得P−1AP=PTAP=ΛP^{-1}AP=P^TAP=\LambdaP−1AP=PTAP=Λ

上述的最后一条最重要，这意味着实对称相似于对角阵可以用PTAP=ΛP^TAP=\LambdaPTAP=Λ求解

正交矩阵的性质
如果A为正交矩阵，则：
ATA=E⇔A−1=ATA^TA=E\Leftrightarrow A^{-1}=A^TATA=E⇔A−1=AT
因此A^T、A^-1、A^*、-A是正交阵

五、题型

1.抽象型特征值和特征向量

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2.两矩阵相似的判别和证明

1.定义法
存在n阶可逆矩阵P，使得P−1AP=BP^{-1}AP=BP−1AP=B，则称A相似于B

2.用性质
AB⇔r(A)=r(B),∣A∣=∣B∣,tr(A)=tr(B),λA=λBA~B\Leftrightarrow r(A)=r(B), |A|=|B|, tr(A)=tr(B), \lambda_A=\lambda_BA B⇔r(A)=r(B),∣A∣=∣B∣,tr(A)=tr(B),λA=λB