贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford algorithm）是一种用于解决单源最短路径问题的经典算法。它可以处理带有负权边的图，并且能够检测出负权回路。

下面给出了贝尔曼-福特算法的正确性证明和一个标准实现的代码示例。

正确性证明：

1. 初始化距离数组，将源点的距离设为0，其他点的距离设为无穷大。
2. 对于每个顶点v，对其所有的出边(u, v)，如果从源点s经过u到达v的距离比当前的距离数组中的值小，则更新距离数组中的值。
3. 重复步骤2，直到没有任何距离数组的更新发生。
4. 检查是否存在负权回路。如果在第n次迭代中仍然发生了距离数组的更新，则说明存在负权回路。

标准实现的代码示例（使用邻接矩阵表示图）：

INF = float('inf')

def bellman_ford(graph, source):
    n = len(graph)
    distance = [INF] * n
    distance[source] = 0

    for _ in range(n-1):
        for u in range(n):
            for v in range(n):
                if graph[u][v] != INF and distance[u] + graph[u][v] < distance[v]:
                    distance[v] = distance[u] + graph[u][v]

    # 检查负权回路
    for u in range(n):
        for v in range(n):
            if graph[u][v] != INF and distance[u] + graph[u][v] < distance[v]:
                return "存在负权回路"

    return distance

使用示例：

graph = [
    [INF, 4, INF, INF, INF, INF, INF, 8, INF],
    [4, INF, 8, INF, INF, INF, INF, 11, INF],
    [INF, 8, INF, 7, INF, 4, INF, INF, 2],
    [INF, INF, 7, INF, 9, 14, INF, INF, INF],
    [INF, INF, INF, 9, INF, 10, INF, INF, INF],
    [INF, INF, 4, 14, 10, INF, 2, INF, INF],
    [INF, INF, INF, INF, INF, 2, INF, 1, 6],
    [8, 11, INF, INF, INF, INF, 1, INF, 7],
    [INF, INF, 2, INF, INF, INF, 6, 7, INF]
]

source = 0
result = bellman_ford(graph, source)
print("节点0到其他节点的最短距离：", result)

输出结果：

节点0到其他节点的最短距离： [0, 4, 12, 19, 21, 11, 9, 8, 14]

注意：这里的示例代码是基于邻接矩阵的表示方式，如果使用邻接表或其他方式表示图，算法的实现可能会有所不同。