LeetCode-790. 多米诺和托米诺平铺【动态规划,矩阵快速幂】

• 题目描述：
• 解题思路一：动态规划。四种状态。
• 解题思路二：矩阵快速幂
• 解题思路三：0

题目描述：

有两种形状的瓷砖：一种是 2 x 1 的多米诺形，另一种是形如 “L” 的托米诺形。两种形状都可以旋转。

给定整数 n ，返回可以平铺 2 x n 的面板的方法的数量。返回对 109 + 7 取模 的值。

平铺指的是每个正方形都必须有瓷砖覆盖。两个平铺不同，当且仅当面板上有四个方向上的相邻单元中的两个，使得恰好有一个平铺有一个瓷砖占据两个正方形。

示例 1:

输入: n = 3
输出: 5
解释: 五种不同的方法如上所示。
示例 2:

输入: n = 1
输出: 1

提示：

1 <= n <= 1000

https://leetcode.cn/problems/domino-and-tromino-tiling/

解题思路一：动态规划。四种状态。

一个正方形都没有被覆盖，记为状态 0；

只有上方的正方形被覆盖，记为状态 1；

只有下方的正方形被覆盖，记为状态 2；

上下两个正方形都被覆盖，记为状态 3。

1.黑色正方形，前一列是i-1，后一列是i。2.红色条表示新铺的瓷砖。

难以理解的是：
初始时 dp[0][0]=0,dp[0][1]=0,dp[0][2]=0,dp[0][3]=1
我们从n=1开始。

最后平铺到第 n 列时，上下两个正方形都被覆盖的状态 dp[n][3]对应的平铺方法数量就是总平铺方法数量。

const long long mod = 1e9 + 7;
class Solution {
public:int numTilings(int n) {vector> dp(n + 1, vector(4));dp[0][3] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {dp[i][0] = dp[i - 1][3];dp[i][1] = (dp[i - 1][0] + dp[i - 1][2]) % mod;dp[i][2] = (dp[i - 1][0] + dp[i - 1][1]) % mod;dp[i][3] = (dp[i - 1][0] + dp[i - 1][1] + dp[i - 1][2] + dp[i - 1][3]) % mod;}return dp[n][3];}
};

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)

解题思路二：矩阵快速幂

n&1与n%2==1相同。

const long long mod = 1e9 + 7;
class Solution {
public:vector> mulMatrix(const vector> &m1, const vector> &m2) {int n1 = m1.size(), n2 = m2.size(), n3 = m2[0].size();vector> res(n1, vector(n3));for (int i = 0; i < n1; i++) {for (int k = 0; k < n3; k++) {for (int j = 0; j < n2; j++) {res[i][k] = (res[i][k] + m1[i][j] * m2[j][k]) % mod;}}}return res;}int numTilings(int n) {vector> mat = {{0, 0, 0, 1},{1, 0, 1, 0},{1, 1, 0, 0},{1, 1, 1, 1}};vector> matn = {{1, 0, 0, 0},{0, 1, 0, 0},{0, 0, 1, 0},{0, 0, 0, 1}};while (n) {if (n & 1) {matn = mulMatrix(matn, mat);}mat = mulMatrix(mat, mat);n >>= 1;}return matn[3][3];}
};

时间复杂度：O(logn)
空间复杂度：O(1)

解题思路三：0