串的朴素模式匹配算法

什么是字串匹配：

在主串中找到与模式串相同的字串并返回其位置，如主串google、模式串gle，则结果为3

算法思路：

相当于拿着模式串和主串对齐，对比其第一个字符。不相等则模式串往右移一位，相等则匹配剩下的字符，计算方式如下：
1234567SwangdaoTgda\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &1&2&3&4&5&6&7\\ \hline S&w&a&n&g&d&a&o\\ \hline T&g&d&a\\ \hline \end{array} ST​1wg​2ad​3na​4g​5d​6a​7o​​
k1234444i1234567j1111234\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline k&1&2&3&4&4&4&4\\ \hline i&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline j&1&1&1&1&2&3&4\\ \hline \end{array} kij​111​221​331​441​452​463​474​​

缺点：

当某些字串与模式串能部分匹配时，主串的扫描指针i经常回溯，导致时间开销增加

朴素模式匹配算法代码：

// S为主串，T为模式串
int Index(String S, String T) {// i用来遍历主串// k用来标记当前匹配串的第一个字符// j用来遍历模式串int i = k = j = 1;while (i <= S.length && j <= T.length) {if (S[i] == T[j]) {i++;j++;} else {k++;i = k;j = 1;}}// 用j是否超出边界作为成功标志if (j > T.length) {return k;} else {return 0;}
}

KMP算法

优点：

在上述朴素模式匹配算法中，当模式串第一个字符匹配时，j和i都继续++去匹配剩下的字符，但一旦当模式串第j个字符不匹配时，i和j都回溯，即模式串往右移动一格。但是其实大部分时候可以通过计算不回溯这么多（某些模式串中回溯到特点值就可保证最短不匹配）。例如：模式串google当j=5时不匹配，此时可发现只要i不变，j回溯到1即可满足最短不匹配，即模式串往右移了4格。KMP算法就是在i不回溯的情况下给出一个next数组用于表示当不匹配时j应该回溯到哪里，这样在模式匹配算法的基础上进一步优化了性能，解决了i经常回溯的问题。

求next数组：

next[j]={0,当j=1时1,当j=2时前j−1个字串的最长相等前后缀长度+1,当j>2时next[j] = \begin{cases} 0, & \text{当j=1时} \\ 1, & \text{当j=2时} \\ 前j-1个字串的最长相等前后缀长度+1, & \text{当j>2时} \end{cases} next[j]=⎩⎪⎨⎪⎧​0,1,前j−1个字串的最长相等前后缀长度+1,​当j=1时当j=2时当j>2时​
前j-1个字串的最长相等前后缀长度：当前j-1个字串为abcab时，ab为前缀和后缀最长相等部分，结果为2；当前j-1个子串为abc时，没有前后缀相等部分，结果为0。
序号j123456模式串ababaanext[j]011234\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 序号j&1&2&3&4&5&6\\ \hline 模式串&a&b&a&b&a&a\\ \hline next[j]&0&1&1&2&3&4\\ \hline \end{array} 序号j模式串next[j]​1a0​2b1​3a1​4b2​5a3​6a4​​

KMP算法代码：

int Index_KMP(String S, String T, int next[]) {int i = j = 1;while (i <= S.length && j <= T.length) {if (j==0 || S[i] == T[j]) {i++;j++;} else {j = next[j];        // i不回溯，j查找next数组回溯}}if (j > T.length) {return i - T.length;    // 匹配成功} else {return 0;}
}

KMP算法的优化：

当模式串为google，j=4时。原KMP算法的next[4]=1，但是其实此处不需要再重新匹配第一位，所以应该优化为next[4]＝0。因此引入next的优化数组nextVal。
nextVal[j]={0,当j=1时next[j],当j>1 且 T[next[j]]!=T[j]时nextVal[next[j]],当j>1 且 T[next[j]]==T[j]时nextVal[j] = \begin{cases} 0, & \text{当j=1时} \\ next[j], & \text{当j>1 且 T[next[j]]!=T[j]时} \\ nextVal[next[j]], & \text{当j>1 且 T[next[j]]==T[j]时} \\ \end{cases} nextVal[j]=⎩⎪⎨⎪⎧​0,next[j],nextVal[next[j]],​当j=1时当j>1 且 T[next[j]]!=T[j]时当j>1 且 T[next[j]]==T[j]时​
序号j123456模式串ababaanext[j]011234nextVal[j]010104\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 序号j&1&2&3&4&5&6\\ \hline 模式串&a&b&a&b&a&a\\ \hline next[j]&0&1&1&2&3&4\\ \hline nextVal[j]&0&1&0&1&0&4\\ \hline \end{array} 序号j模式串next[j]nextVal[j]​1a00​2b11​3a10​4b21​5a30​6a44​​