以下是一个使用动态规划的高效解决方法，使用 Python 代码示例：

def longest_palindrome(s):
    n = len(s)
    # 创建一个 n x n 的二维数组用于存储回文子串的长度
    dp = [[False] * n for _ in range(n)]
    max_len = 0
    start = 0
    
    # 单个字符一定是回文子串
    for i in range(n):
        dp[i][i] = True
        max_len = 1
    
    # 判断长度为2的子串是否是回文子串
    for i in range(n-1):
        if s[i] == s[i+1]:
            dp[i][i+1] = True
            max_len = 2
            start = i
    
    # 判断长度大于2的子串是否是回文子串
    for length in range(3, n+1):
        for i in range(n-length+1):
            j = i + length - 1
            if s[i] == s[j] and dp[i+1][j-1]:
                dp[i][j] = True
                max_len = length
                start = i
    
    return s[start:start+max_len]

# 测试示例
print(longest_palindrome("babad"))  # 输出 "bab" 或 "aba"
print(longest_palindrome("cbbd"))  # 输出 "bb"

这个方法的时间复杂度是 O(n^2)，其中 n 是字符串的长度。通过动态规划的方式，我们可以避免重复计算子问题。首先，我们初始化一个二维数组 dp，dp[i][j] 表示字符串从索引 i 到 j 的子串是否是回文子串。在长度为 1 的情况下，所有单个字符都是回文子串；在长度为 2 的情况下，如果两个字符相同，那么它们也是回文子串。对于长度大于 2 的子串，如果字符串的第一个和最后一个字符相同，并且内部子串也是回文子串，那么整个子串也是回文子串。我们可以利用这个递推关系来判断长度大于 2 的子串是否是回文子串，并同时记录最长的回文子串的长度和起始位置。