以下是一个编写带有自定义成功部分的通用AJAX函数的示例代码：

function ajaxRequest(url, method, data, successCallback, errorCallback) {
  var xhr = new XMLHttpRequest();
  xhr.open(method, url, true);
  xhr.setRequestHeader('Content-Type', 'application/json');
  
  xhr.onload = function() {
    if (xhr.status === 200) {
      var response = JSON.parse(xhr.responseText);
      successCallback(response);
    } else {
      errorCallback(xhr.statusText);
    }
  };
  
  xhr.onerror = function() {
    errorCallback(xhr.statusText);
  };
  
  xhr.send(JSON.stringify(data));
}

function successHandler(response) {
  // 自定义成功部分的处理代码
  console.log('请求成功！');
  console.log(response);
}

function errorHandler(error) {
  // 自定义错误处理代码
  console.error('请求错误:', error);
}

// 调用示例
var url = 'https://example.com/api/data';
var method = 'GET';
var data = { param1: 'value1', param2: 'value2' };

ajaxRequest(url, method, data, successHandler, errorHandler);

在这个示例中，我们定义了一个名为ajaxRequest的通用AJAX函数，该函数接收URL、请求方法、数据、成功回调函数和错误回调函数作为参数。在函数内部，我们创建了一个XMLHttpRequest对象，并使用open方法设置请求的URL和方法。我们还设置了请求头的Content-Type为application/json。

然后，我们定义了xhr.onload函数来处理成功的AJAX请求。在这个函数内部，我们首先检查响应的状态码是否为200，以确保请求成功。然后，我们将响应的文本解析为JSON格式，并调用成功回调函数successCallback，并将解析后的响应作为参数传递给它。

如果请求失败，我们定义了xhr.onerror函数来处理错误。在这个函数内部，我们调用错误回调函数errorCallback，并将XHR对象的状态文本作为参数传递给它。

最后，我们定义了一个成功处理函数successHandler和一个错误处理函数errorHandler作为示例。你可以在这两个函数中编写自定义的成功部分和错误处理代码。

在调用示例中，我们提供了请求的URL、方法和数据，并将成功处理函数和错误处理函数传递给ajaxRequest函数。你可以根据实际需求修改这些参数。