我们可以使用递归的方法来解决这个问题。我们先定义一个函数 max_sum(node)，这个函数以树的节点作为参数，返回以该节点为起点的最大路径和。然后，我们就可以在整个树中找到最大的路径和。

在 max_sum(node) 中，我们需要对每个节点的两个子节点分别调用 max_sum，找到它们的最大路径和。然后我们可以计算出以该节点为顶点的路径最大和为 node.value + max(left_sum, right_sum)。最后在所有节点调用 max_sum，找到最大的路径和即可。

下面是代码示例：

class TreeNode:
    def __init__(self, value=0, left=None, right=None):
        self.value = value
        self.left = left
        self.right = right

def max_sum(node: TreeNode) -> int:
    if node is None:
        return 0
    
    left_sum = max_sum(node.left)
    right_sum = max_sum(node.right)
    
    return node.value + max(0, max(left_sum, right_sum))

def max_path_sum(root: TreeNode) -> int:
    if root is None:
        return 0
    
    left_sum = max_path_sum(root.left)
    right_sum = max_path_sum(root.right)
    
    return max(max_sum(root), max(left_sum, right_sum))

给定下面的二叉树：

     1
    / \
   2   3
  / \     
 4   5    

调用 max_path_sum(root) 将返回 12，对应路径为 4->2->1->3。