以下是一个编写密码有效性检查函数的示例解决方法：

import re

def check_password_validity(password):
    # 密码长度必须在8到20个字符之间
    if len(password) < 8 or len(password) > 20:
        return False

    # 密码必须至少包含一个大写字母、一个小写字母和一个数字
    if not re.search(r'[A-Z]', password) or not re.search(r'[a-z]', password) or not re.search(r'[0-9]', password):
        return False

    # 密码不能包含特殊字符
    if re.search(r'\W', password):
        return False

    # 密码有效
    return True

# 测试密码
passwords = [
    "Abcdefg123",   # 有效密码
    "abcdefg123",   # 缺少大写字母
    "ABCDEFG123",   # 缺少小写字母
    "abcdefg",      # 缺少数字
    "abcdefg123!",  # 包含特殊字符
    "short123"      # 密码长度不够
]

for password in passwords:
    if check_password_validity(password):
        print(f"{password}: 有效密码")
    else:
        print(f"{password}: 无效密码")

这个示例函数 check_password_validity 使用正则表达式来检查密码的有效性。它首先检查密码的长度是否在8到20个字符之间，然后检查密码是否包含至少一个大写字母、一个小写字母和一个数字。最后，它检查密码是否包含特殊字符。如果密码满足所有这些条件，则认为密码是有效的。

在示例中，我们测试了不同类型的密码，并根据其有效性打印相应的结果。