习题7-1在小批量梯度下降中,试分析为什么学习率要和批量大小成正比.

在小批量梯度下降中：

$g_{t}(\theta )=\frac{1}{K}\sum _{(x,y)\epsilon S_{t}}\frac{\partial L(y,f(x;\theta ))}{\partial \theta }$

$\theta _{t}=\theta _{t-1}-\alpha g_{t}$

令 $g_{t}=\frac{1}{K}\delta$ ，则： $\theta _{t}=\theta _{t-1}-\frac{\alpha }{K}\delta$

因此我们要使得参数最优，则 $\frac{\alpha }{K}$ 为最优的时候的常数，故学习率要和批量大小成正比。

习题7-2在Adam算法中,说明指数加权平均的偏差修正的合理性（即公式(7.27)和公式(7.28)).

在Adam算法中：

$M_{t}=\beta _{1}M_{t-1}+(1-\beta _{1})g_{t}$

$G_{t}=\beta _{2}G_{t-1}+(1-\beta _{2}))\bigodot g_{t}$

因此当 $\beta _{1}\rightarrow 1,\beta _{2}\rightarrow 1$ 的时候：

$\lim_{\beta _{_{1}\rightarrow 1}}M_{t}=M_{t-1}$

$\lim_{\beta _{_{2}\rightarrow1}}G_{t}=G_{t-1}$

因此可以发现此时梯度消失，因此需要进行偏差偏正

习题7-9证明在标准的随机梯度下降中,权重衰减正则化和l,正则化的效果相同.并分析这一结论在动量法和 Adam算法中是否依然成立.

L2正则化：

L2正则化损失函数相对于参数w的偏导数(梯度)

得到损失函数的偏导数结果后，将结果代入梯度下降学习规则中，代入后，打开括号，重新排列，使其等价于在一定假设下的权值衰减方程。

最终重新排列的L2正则化方程和权值衰减方程之间的唯一区别是α(学习率)乘以λ(正则化项)。为了得到两个方程，我们用λ来重新参数化L2正则化方程。

将λ'替换为λ，对L2正则化方程进行重新参数化，将其等价于权值衰减方程，如下式所示。

综上，在标准的随机梯度下降中,权重衰减正则化和l2正则化的效果相同得证。

但这一结论在动量法和Adam算法中不成立。L2正则化梯度更新的方向取决于最近一段时间内梯度的加权平均值。
当与自适应梯度相结合时（动量法和Adam算法），L2正则化导致具有较大历史参数 (和/或) 梯度振幅的权重被正则化的程度小于使用权值衰减时的情况。

全面总结网络优化

总结

这是本学期的最后一次作业，在老师的教导下，经过一个学期的学习，对深度学习有了更深刻的了解，也增强了自己的自学能力和动手能力。本次作业了解了网络优化的几个常用算法，以及为什么在小批量梯度下降中学习率与权重大小成正比等。

参考：

16、指数加权平均算法介绍及偏差修正 - Hzzhbest - 博客园【deeplearning.ai笔记第二课】2.1 随机梯度下降，批量梯度下降和小批量梯度下降_adrianna_xy的博客-CSDN博客_在小批量梯度下降中,试分析为什么学习率要和批量大小成正比16、指数加权平均算法介绍及偏差修正 - Hzzhbest - 博客园

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NNDL 作业12：第七章课后题

习题7-1在小批量梯度下降中,试分析为什么学习率要和批量大小成正比.

习题7-2在Adam算法中,说明指数加权平均的偏差修正的合理性（即公式(7.27)和公式(7.28)).

$\lim_{\beta _{_{1}\rightarrow 1}}M_{t}=M_{t-1}$

习题7-9证明在标准的随机梯度下降中,权重衰减正则化和l,正则化的效果相同.并分析这一结论在动量法和 Adam算法中是否依然成立.

全面总结网络优化

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参考：

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