红黑树

前面介绍了2-3树，可以看到2-3树能保证在插入元素之后，树依然保持平衡状态，它的最坏情况下所有子结点都是2-结点，树的高度为lgN,相比于我们普通的二叉查找树，最坏情况下树的高度为N，确实保证了最坏情况下的时间复杂度，但是2-3树实现起来过于复杂，所以我们介绍一种2-3树思想的简单实现：红黑树。

1. 定义：

红黑树主要是对2-3树进行编码，红黑树背后的基本思想是用标准的二叉查找树(完全由2-结点构成)和一些额外的信息(替换3-结点)来表示2-3树。

我们将树中的链接分为两种类型：
红链接：将两个2-结点连接起来构成一个3-结点；
黑链接：则是2-3树中的普通链接。
确切的说，我们将3-结点表示为由由一条左斜的红色链接(两个2-结点其中之一是另一个的左子结点)相连的两个2-结点。这种表示法的一个优点是，我们无需修改就可以直接使用标准的二叉查找树的get方法。

红黑树是含有红黑链接并满足下列条件的二叉查找树：

1. 红链接均为左链接；
2. 没有任何一个结点同时和两条红链接相连；
3. 该树是完美黑色平衡的，即任意空链接到根结点的路径上的黑链接数量相同；

下面是红黑树与2-3树的对应关系：

2.红黑树结点API

因为每个结点都只会有一条指向自己的链接（从它的父结点指向它），我们可以在之前的Node结点中添加一个布尔类型的变量color来表示链接的颜色。如果指向它的链接是红色的，那么该变量的值为true，如果链接是黑色的，那么该变量的值为false。

2.1 API设计

2.2 代码实现

private class Node{//存储键public Key key;//存储值private Value value;//记录左子结点public Node left;//记录右子结点public Node right;//由其父结点指向它的链接的颜色public boolean color;public Node(Key key, Value value, Node left,Node right,boolean color) {this.key = key;this.value = value;this.left = left;this.right = right;this.color = color;}
}

3. 平衡化

在对红黑树进行一些增删改查的操作后，很有可能会出现红色的右链接或者两条连续红色的链接，而这些都不满足红黑树的定义，所以我们需要对这些情况通过旋转进行修复，让红黑树保持平衡。

3.1 左旋

当某个结点的左子结点为黑色，右子结点为红色，此时需要左旋。
前提： 当前结点为h，它的右子结点为x；
左旋过程：
1.让x的左子结点变为h的右子结点：h.right=x.left;
2.让h成为x的左子结点：x.left=h;
3.让h的color属性变为x的color属性值：x.color=h.color;
4.让h的color属性变为RED：h.color=true;

3.2右旋

当某个结点的左子结点是红色，且左子结点的左子结点也是红色，需要右旋
前提： 当前结点为h，它的左子结点为x；
右旋过程：

1. 让x的右子结点成为h的左子结点：h.left = x.right;
2. 让h成为x的右子结点：x.right=h;
3. 让x的color变为h的color属性值：x.color = h.color;
4. 让h的color为RED；## 4.向单个2-结点中插入新键
   

一棵只含有一个键的红黑树只含有一个2-结点。插入另一个键后，我们马上就需要将他们旋转。

• 如果新键小于当前结点的键，我们只需要新增一个红色结点即可，新的红黑树和单个3-结点完全等价。
  
• 如果新键大于当前结点的键，那么新增的红色结点将会产生一条红色的右链接，此时我们需要通过左旋，把红色右链接变成左链接，插入操作才算完成。形成的新的红黑树依然和3-结点等价，其中含有两个键，一条红色链接。
  

5. 向底部的2-结点插入新键

用和二叉查找树相同的方式向一棵红黑树中插入一个新键，会在树的底部新增一个结点（可以保证有序性），唯一
区别的地方是我们会用红链接将新结点和它的父结点相连。如果它的父结点是一个2-结点，那么刚才讨论的两种方
式仍然适用。

6. 颜色反转

当一个结点的左子结点和右子结点的color都为RED时，也就是出现了临时的4-结点，此时只需要把左子结点和右子结点的颜色变为BLACK，同时让当前结点的颜色变为RED即可

7. 向一棵双键树(即一个3-结点)中插入新键

这种情况有可以分为三种情况：

1. 新键大于原树中的两个键
2. 新键小于原树中的两个键
3. 新键介于原数中两个键之间

7.1 新键大于原树中的两个键

7.2 新键小于原树中的两个键

7.3 新键介于原数中两个键之间

8. 根结点的颜色总是黑色

之前我们介绍结点API的时候，在结点Node对象中color属性表示的是父结点指向当前结点的连接的颜色，由于根结点不存在父结点，所以每次插入操作后，我们都需要把根结点的颜色设置为黑色。

9. 向树底部的3-结点插入新键

假设在树的底部的一个3-结点下加入一个新的结点。前面我们所讲的3种情况都会出现。指向新结点的链接可能是3-结点的右链接（此时我们只需要转换颜色即可），或是左链接(此时我们需要进行右旋转然后再转换)，或是中链接(此时需要先左旋转然后再右旋转，最后转换颜色)。颜色转换会使中间结点的颜色变红，相当于将它送入了父结点。这意味着父结点中继续插入一个新键，我们只需要使用相同的方法解决即可，直到遇到一个2-结点或者根结点为止。

10. 红黑树的API设计

11. 红黑树的代码实现

package heimadatapractise;public class RedBlackTree ,Value>{ //红黑树代码public static void main(String[] args) throws Exception{ //测试代码RedBlackTree bt = new RedBlackTree<>();bt.put(4, "二哈");bt.put(1, "张三");bt.put(3, "李四");bt.put(5, "王五");System.out.println(bt.size());bt.put(1,"老三");System.out.println(bt.get(1));System.out.println(bt.size());}private Node root; //根节点private int N; //记录树中元素的个数private static final boolean RED = true;//红色链接private static final boolean BLACK = false; //黑色链接private class Node{//结点类public Key key; //存储键private Value value; //存储值public Node left; //记录左子结点public Node right;//记录右子结点public boolean color; //由其父结点指向它的链接的颜色public Node(Key key,Value value,Node left,Node right, boolean color){this.key =key;this.value= value;this.left= left;this.right = right;this.color= color;}}private boolean isRed(Node x){ //判断当前节点的父指向链接是否为红色if(x==null){ //空结点默认是黑色链接return false;}return x.color ==RED; //非空结点需要判断结点color属性的值}private Node rotateLeft(Node h){//左旋转Node hRight = h.right; //找出当前结点h的右子结点Node lhRight = hRight.left; //找出右子结点的左子结点h.right =lhRight; //让当前结点h的右子结点的左子结点成为当前结点的右子结点hRight.left =h; //让当前结点h称为右子结点的左子结点hRight.color = h.color; //让当前结点h的color编程右子结点的colorh.color = RED; //让当前结点h的color变为REDreturn hRight;//返回当前结点的右子结点}private Node rotateRight(Node h){ //右旋Node hLeft = h.left; //找出当前结点h的左子结点Node rHleft = hLeft.right; //找出当前结点h的左子结点的右子结点h.left =rHleft; //让当前结点h的左子结点的右子结点称为当前结点的左子结点hLeft.right =h; //让当前结点称为左子结点的右子结点hLeft.color =h.color; //让当前结点h的color值称为左子结点的color值h.color =RED; //让当前结点h的color变为REDreturn hLeft; //返回当前结点的左子结点}private void flipColors(Node h){//颜色反转,相当于完成拆分4-节点h.color = RED; //当前结点的color属性值变为RED；h.left.color = BLACK;//当前结点的左右子结点的color属性值都变为黑色h.right.color = BLACK;}public void put(Key key, Value val){ //在整个树上完成插入操作root = put (root,key,val); //在root整个树上插入key-valroot.color = BLACK; //让根结点的颜色变为BLACK}private Node put(Node h,Key key, Value val) { //在指定树中，完成插入操作,并返回添加元素后新的树if (h == null) {N++; //标准的插入操作，和父结点用红链接相连return new Node(key, val, null, null, RED);}//比较要插入的键和当前结点的键int cmp = key.compareTo(h.key); //比较要插入的键和当前结点的键if (cmp < 0) { //继续寻找左子树插入//继续寻找左子树插入h.left = put(h.left, key, val);} else if (cmp > 0) { //继续寻找右子树插入//继续寻找右子树插入h.right = put(h.right, key, val);} else {//已经有相同的结点存在，修改节点的值；h.value = val; //已经有相同的结点存在，修改节点的值；}if(isRed(h.right)&&!isRed(h.left)){ //如果当前结点的右链接是红色，左链接是黑色，需要左旋h=rotateLeft(h);}//如果当前结点的左子结点和左子结点的左子结点都是红色链接，则需要右旋if (isRed(h.left) && isRed(h.left.left)) {h=rotateRight(h);}if(isRed(h.left)&&isRed(h.right)){ //如果当前结点的左链接和右链接都是红色，需要颜色变换flipColors(h);}return h; //返回当前结点}//根据key，从树中找出对应的值public Value get(Key key) { //根据key，从树中找出对应的值return get(root, key); //如果当前结点为空，则没有找到,返回null}public Value get(Node x,Key key){if(x==null){return null;}int cmp =key.compareTo(x.key);  //比较当前结点的键和keyif(cmp<0){ //如果要查询的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；return get(x.left,key);}else if(cmp>0){ //如果要查询的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；return get(x.right,key);}else{ //如果要查询的key等于当前结点的key，则树中返回当前结点的value。return x.value;}}public int size(){  //获取树中元素的个数return N;}}

12. 代码实现结果

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老三
4

参考：黑马程序员Java数据结构与java算法