三角函数的定义

函数的关系

• tan⁡αcot⁡α=1\tan \alpha\cot \alpha=1tanαcotα=1
• sin⁡αcsc⁡α=1\sin \alpha\csc \alpha=1sinαcscα=1
• cos⁡αsec⁡α=1\cos \alpha\sec\alpha=1cosαsecα=1
• tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}tanα=cosαsinα​
• sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1sin2α+cos2α=1

三角函数公式

诱导公式

公式1

sin⁡(2kπ+α)=sin⁡α(k∈Z)\sin(2k\pi+\alpha)=\sin \alpha \qquad (k\in Z)sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)
cos⁡(2kπ+α)=cos⁡α(k∈Z)\cos(2k\pi+\alpha)=\cos \alpha \qquad (k\in Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)
tan⁡(2kπ+α)=tan⁡α(k∈Z)\tan(2k\pi+\alpha)=\tan \alpha \qquad (k\in Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)
cot⁡(2kπ+α)=cot⁡α(k∈Z)\cot(2k\pi+\alpha)=\cot \alpha \qquad (k\in Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)

公式2

sin⁡(π+α)=−sin⁡α\sin(\pi+\alpha)=-\sin \alphasin(π+α)=−sinα
cos⁡(π+α)=−cos⁡α\cos(\pi+\alpha)=-\cos \alphacos(π+α)=−cosα
tan⁡(π+α)=tan⁡α\tan(\pi+\alpha)=\tan \alphatan(π+α)=tanα
cot⁡(π+α)=cot⁡α\cot(\pi+\alpha)=\cot \alphacot(π+α)=cotα

公式3

sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha)=-\sin \alphasin(−α)=−sinα
cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha)=\cos \alphacos(−α)=cosα
tan⁡(−α)=−tan⁡α\tan(-\alpha)=-\tan \alphatan(−α)=−tanα
cot⁡(−α)=−cot⁡α\cot(-\alpha)=-\cot \alphacot(−α)=−cotα

公式4

sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(\pi-\alpha)=\sin \alphasin(π−α)=sinα
cos⁡(π−α)=−cos⁡α\cos(\pi-\alpha)=-\cos \alphacos(π−α)=−cosα
tan⁡(π−α)=−tan⁡α\tan(\pi-\alpha)=-\tan \alphatan(π−α)=−tanα
cot⁡(π−α)=−cot⁡α\cot(\pi-\alpha)=-\cot \alphacot(π−α)=−cotα

公式5

sin⁡(2π−α)=−sin⁡α\sin(2\pi-\alpha)=-\sin \alphasin(2π−α)=−sinα
cos⁡(2π−α)=cos⁡α\cos(2\pi-\alpha)=\cos \alphacos(2π−α)=cosα
tan⁡(2π−α)=−tan⁡α\tan(2\pi-\alpha)=-\tan \alphatan(2π−α)=−tanα
cot⁡(2π−α)=−cot⁡α\cot(2\pi-\alpha)=-\cot \alphacot(2π−α)=−cotα

公式6

sin⁡(π2+α)=cos⁡αcos⁡(π2+α)=−sin⁡αtan⁡(π2+α)=−cot⁡αcot⁡(π2+α)=−tan⁡α\sin(\dfrac{\pi}{2}+\alpha)=\cos \alpha \quad \cos(\dfrac{\pi}{2}+\alpha)=-\sin \alpha \quad \tan(\dfrac{\pi}{2}+\alpha)=-\cot \alpha \quad \cot(\dfrac{\pi}{2}+\alpha)=-\tan \alphasin(2π​+α)=cosαcos(2π​+α)=−sinαtan(2π​+α)=−cotαcot(2π​+α)=−tanα

sin⁡(π2−α)=cos⁡αcos⁡(π2−α)=sin⁡αtan⁡(π2−α)=cot⁡αcot⁡(π2−α)=tan⁡α\sin(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\cos \alpha \quad \cos(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\sin \alpha \quad \tan(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\cot \alpha \quad \cot(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\tan \alphasin(2π​−α)=cosαcos(2π​−α)=sinαtan(2π​−α)=cotαcot(2π​−α)=tanα

sin⁡(3π2+α)=−cos⁡αcos⁡(3π2+α)=sin⁡αtan⁡(3π2+α)=−cot⁡αcot⁡(3π2+α)=−tan⁡α\sin(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha)=-\cos \alpha \quad \cos(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha)=\sin \alpha \quad \tan(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha)=-\cot \alpha \quad \cot(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha)=-\tan \alphasin(23π​+α)=−cosαcos(23π​+α)=sinαtan(23π​+α)=−cotαcot(23π​+α)=−tanα

sin⁡(3π2−α)=−cos⁡αcos⁡(3π2−α)=−sin⁡αtan⁡(3π2−α)=cot⁡αcot⁡(3π2−α)=tan⁡α\sin(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha)=-\cos \alpha \quad \cos(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha)=-\sin \alpha \quad \tan(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha)=\cot \alpha \quad \cot(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha)=\tan \alphasin(23π​−α)=−cosαcos(23π​−α)=−sinαtan(23π​−α)=cotαcot(23π​−α)=tanα

口诀：奇变偶不变，符号看象限。
\qquad如果加的常数是π2\dfrac{\pi}{2}2π​的奇数倍，则函数名称要变，正弦边余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。是偶数倍则不变。

\qquad因为α\alphaα是任意角，在记公式的时候，我们不妨将α\alphaα看作第一象限的角，那么此时sin⁡α,cos⁡αtan⁡α,cot⁡α\sin \alpha,\cos \alpha\tan \alpha,\cot \alphasinα,cosαtanα,cotα都为正。然后根据原函数的角度所在的象限来判断新函数的符号。

\qquad举例：对于sin⁡(3π2+α)\sin(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha)sin(23π​+α)，首先3π2\dfrac{3\pi}{2}23π​是π2\dfrac{\pi}{2}2π​的三倍，所以要变函数名；又因为当α\alphaα的终边在第一象限的时候3π2+α\dfrac{3\pi}{2}+\alpha23π​+α在第四象限，而正弦函数在第四象限值为负，所以sin⁡(3π2+α)=−cos⁡α\sin(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha)=-\cos \alphasin(23π​+α)=−cosα。

倍角公式

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha=2\sin \alpha\cos \alphasin2α=2sinαcosα

cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=1−2sin⁡α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin \alpha=2\cos^2\alpha-1cos2α=cos2α−sin2α=1−2sinα=2cos2α−1

tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\tan 2\alpha=\dfrac{2\tan \alpha}{1-\tan^2\alpha}tan2α=1−tan2α2tanα​

降幂公式

sin⁡2α=12(1−cos⁡2α)\sin^2\alpha=\dfrac 12(1-\cos2\alpha)sin2α=21​(1−cos2α)

cos⁡2α=12(1+cos⁡2α)\cos^2\alpha=\dfrac 12(1+\cos2\alpha)cos2α=21​(1+cos2α)

半角公式

sin⁡α2=±1−cos⁡α2\sin\dfrac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos \alpha}{2}}sin2α​=±21−cosα​​

cos⁡α2=±1+cos⁡α2\cos\dfrac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha}{2}}cos2α​=±21+cosα​​

tan⁡α2=sin⁡α1+cos⁡α=1−cos⁡αsin⁡α=±1−cos⁡α1+cos⁡α\tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}=\dfrac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}tan2α​=1+cosαsinα​=sinα1−cosα​=±1+cosα1−cosα​​

正负由α2\dfrac{\alpha}{2}2α​所在象限决定。因为带根号的数一定是非负数，所以可以根据原函数在对应象限的正负来判断新函数的正负。

和差公式

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha\pm\beta)=\sin \alpha\cos \beta\pm\cos \alpha\sin \betasin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ

cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha\pm\beta)=\cos \alpha\cos \beta\mp\sin \alpha\sin \betacos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ

tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\tan \alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan \alpha\tan \beta}tan(α±β)=1∓tanαtanβtanα±tanβ​

积化和差公式

sin⁡αcos⁡β=12[sin⁡(α+β)+sin⁡(α+β)]\sin \alpha\cos \beta=\dfrac 12[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha+\beta)]sinαcosβ=21​[sin(α+β)+sin(α+β)]

cos⁡αsin⁡β=12[sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)]\cos \alpha\sin \beta=\dfrac 12[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]cosαsinβ=21​[sin(α+β)−sin(α−β)]

cos⁡αcos⁡β=12[cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)]\cos \alpha\cos \beta=\dfrac 12[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]cosαcosβ=21​[cos(α+β)+cos(α−β)]

sin⁡αsin⁡β=12[cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)]\sin \alpha\sin \beta=\dfrac 12[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]sinαsinβ=21​[cos(α−β)−cos(α+β)]

和差化积公式

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2\sin \alpha+\sin \beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}sinα+sinβ=2sin2α+β​cos2α−β​

sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β2\sin \alpha-\sin \beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}sinα−sinβ=2cos2α+β​sin2α−β​

cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2\cos \alpha+\cos \beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}cosα+cosβ=2cos2α+β​cos2α−β​

cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2\cos \alpha-\cos \beta=-2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}cosα−cosβ=−2sin2α+β​sin2α−β​

口诀
正加正，正在前；余加余，余并肩。
正减正，余在前；余减余，负正弦。

万能公式

sin⁡α=2tan⁡α21+tan⁡2α2\sin \alpha=\dfrac{2\tan \frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}sinα=1+tan22α​2tan2α​​

cos⁡α=1−tan⁡2α21+tan⁡2α2\cos \alpha=\dfrac{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2 \frac{\alpha}{2}}cosα=1+tan22α​1−tan22α​​

tan⁡α=2tan⁡α21−tan⁡2α2\tan \alpha=\dfrac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}tanα=1−tan22α​2tan2α​​