从数学角度上讲，卷积就是一种运算。运算能被定义出来，至少有以下特征：

1.抽象的、符号化的；

2.在生活、科研中有着广泛的应用。

目录

一、卷积的定义

二、离散卷积的例子：投骰子

求：两枚骰子点数加起来为4的概率是多少？

三、连续卷积的例子：做馒头

四、图像处理

4.1原理

4.2计算

4.3个人小结

一、卷积的定义

我们称 为的卷积，

其连续的定义为：

其离散的定义为：

这两个式子有一个共同的特征：

这个特征的意义？

我们令，那么，就是下图所示直线：

如果遍历这些直线，就好比，把毛巾沿着其中一个角卷起来：  

卷积为什么叫卷积？

只看数学符号，卷积是抽象的，不好理解的，但是，我们可以通过现实中的意义，来习惯卷积这种运算。

二、离散卷积的例子：投骰子

有两枚骰子：

把这两枚骰子都抛出去：

求：两枚骰子点数加起来为4的概率是多少？

问题的关键是，两个骰子加起来要等于4，这正是卷积的应用场景。我们把骰子各个点数出现的概率表示出来：

 两枚骰子点数加起来为4的情况有：

​

因此，两枚骰子点数加起来为4的概率为：

f(1)g(3)+f(2)g(2)+f(3)g(1)

符合卷积的定义，把它写成的标准的形式就是：

三、连续卷积的例子：做馒头

楼下早点铺子生意太好了，供不应求，就买了一台机器，不断的生产馒头。

假设馒头的上产速度是 ，那么一天后生产出来的馒头总量为：

馒头一旦出炉，就会慢慢腐败，假设腐败函数为 ，比如，10个馒头，24小时会腐败：

想想就知道，第一个小时生产出来的馒头，一天后会经历24小时的腐败，第二个小时生产出来的馒头，一天后会经历23小时的腐败。

如此，我们知道，一天后，馒头总共腐败了：

这就是连续的卷积!

四、图像处理

4.1原理

如下图所示的图像，可以看到，图像上有很多噪点：

平滑后得到：

4.2计算

卷积可以帮助实现这个平滑算法：

有噪点的原图，可以把它转化为一个矩阵：

然后用下面这个算术平均矩阵来平滑图像：

（原图的处理实际上用的是正态分布矩阵，这里为了简单，就用了算术平均矩阵）

比如要平滑点，就在矩阵中，取出点附近的点组成矩阵和进行卷积计算，再填回去：

要注意一点，为了运用卷积，g虽然和f同维度，但下标不同：

用一个动图来说明计算过程： 求解

写成卷积公式： 

如果要求解 ，一样可以套用上面的卷积公式。

这相当于实现了矩阵g在原来图像上的划动，准确来说，下面这幅图把矩阵g旋转了

4.3个人小结

在图像处理时，把图像所有像素点转化为一个矩阵，乘以矩阵，实现平滑/模糊像素；

每一个像素点均可以写出来卷积公式，定义矩阵中的每一个元素为，根据目标像素点可以表示出来矩阵，为

故可以写出来通用的矩阵公式：

卷积的理解如同'一千个读者就有一千个哈姆雷特' ，但万变不离其宗，本质上是相同的：所谓两个函数的卷积，本质上就是先将一个函数翻转，然后进行滑动叠加。

[数论数学]反演卷积的应用-快速求和化简_ix35的博客-CSDN博客 

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莫比乌斯反演等价于求矩阵的逆矩阵的问题，卷积代数都可以拿矩阵代数来类比理解。

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