这篇笔记记录分治算法的思想和两道leetcode题。

分治算法思想：

规模为n的原问题的解无法直接求出，进行问题规模缩减，划分子问题，子问题相互独立而且和原问题解的性质是相同的，只是问题规模缩小了。递归地缩小问题规模，直到能求出解为止。最后将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模问题的解，自低向上逐步求出原问题的解。

分治算法适用条件

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
1.原问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决;
2. 原问题可以分解为若干规模较小的相同的问题，即原问题具有最优子结构性质；
3. 利用原问题分解出的子问题的解可以合并为原问题的解；
4. 原问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题（这条特征涉及到分治法的效率，如果各个子问题不独立，也就是子问题划分有重合的部分，则分治法要重复的求解公共子问题的解，此时虽然也可用分治法，但采用 动态规划 更好）

分治算法练习题

1 二分搜索

#include 
#include 
#include 
using namespace std;bool Binart_search(vector &vec, int i, int j, int val)
{if (i > j){return false;}int mid = (i + j) / 2;if (vec[mid] == val){return true;}else if (vec[mid] > val){return Binart_search(vec, i, mid-1, val);}else{return Binart_search(vec, mid + 1, j, val);}
}int main()
{vector vec;for (int i = 0; i < 11; i++){vec.push_back(rand() % 100);}sort(vec.begin(), vec.end());for (int v : vec){cout << v << " ";}cout << endl;bool  result = Binart_search(vec, 0, vec.size() - 1, 34);if (result){cout << "result:" << result <<  endl;}for (int v : vec){cout << v << " ";}cout << endl;system("pause");return 0;
}

2. 快速排序

int partition(vector &vec, int i, int j)
{int val = vec[i];int l = i;int r = j;while (l < r){while (l < r && vec[r] >= val){r--;}if (l < r){vec[l++] = vec[r];}while (l < r && vec[l] < val){l++;}if (l < r){vec[r--] = vec[l];}}vec[l] = val;return l;
}void quickSork(vector &vec, int i, int j)
{if (i >= j)  // 递归结束条件{return;}int pos = partition(vec, i, j);quickSork(vec, i, pos - 1);quickSork(vec, pos + 1, j);}int main()
{vector vec;for (int i = 0; i < 11; i++){int r = rand() % 100;vec.push_back(r);cout << r << " ";}cout << endl;quickSork(vec, 0, vec.size() - 1);for (int v : vec){cout << v << " ";}cout << endl;system("pause");return 0;
}

3. 归并排序

void merge1(vector &vec, int low, int high, int mid)
{vector tmp;			// 定义额外的辅助空间，存储合并的子问题的有序数组tmp.reserve(high - low + 1);// reserve(预留空间，防止扩容的消耗) resizeint i = low;int j = mid + 1;while (i <= mid && j <= high){if (vec[i] > vec[j]){tmp.push_back(vec[j++]);}else{tmp.push_back(vec[i++]);}}while (i <= mid){tmp.push_back(vec[i++]);}while (j <= high){tmp.push_back(vec[j++]);}for (int k = low; k <= high; ++k){vec[k] = tmp[k - low];}
}void mergeSort(vector &vec, int i, int j)
{if (i >= j){return;}int mid = (i + j) / 2;mergeSort(vec, i, mid);mergeSort(vec, mid + 1, j);// Andy:这两个递归函数，逻辑上将树划分成二叉树// 向上回溯，回溯过程中，合并子问题的接merge1(vec, i, j, mid);
}int main()
{vector vec;for (int i = 0; i < 11; i++){int r = rand() % 100;vec.push_back(r);cout << r << " ";}cout << endl;mergeSort(vec, 0, vec.size() - 1);for (int v : vec){cout << v << " ";}cout << endl;system("pause");return 0;
}

4. 快排分割函数求top K问题

求大数据的topk问题，有两种解决方法：
1 大根堆，小根堆，优先级队列
10万个整数， 求值最大的前10个元素，解决方法：最开始的前K个元素，组成一个小根堆，从11-10万个元素比较cur, 如果 top > cur ，说明当前的10个是最大的；如果cur > top, top出堆，然后cur 入堆，最后得到的堆就是topk;
如果求前10个小的，先构建大根堆，堆顶元素值最大，依次比较11-10万个元素，如果cur > top 继续下一个元素；如果cur < top ，那么top出堆让，然后cur入堆；O(logn) * O(log10) = O(n)；
2 快排划分函数
假如找第k大的元素，用Length - k =j ,
如果分割函数返回值pos> j ,说明下一次要从i —pos -1 中找；
如果分割函数返回值pos < j ,说明下一次要从pos + 1—length中找；

#include 
#include 
#include 
using namespace std;static int partition(vector &vec, int i, int j)
{int val = vec[i];int l = i;int r = j;while (l < r){while (l < r && vec[r] >= val){r--;}if (l < r){vec[l++] = vec[r];}while (l < r && vec[l] < val){l++;}if (l < r){vec[r--] = vec[l];}}vec[l] = val;return l;
}int max_select_topk(vector &vec, int i, int j, int k)
{int pos = partition(vec, i, j);if (pos == vec.size() - k){return pos;}else if (pos < vec.size() - k){return max_select_topk(vec, pos + 1, j, k);}else{return max_select_topk(vec, i, pos - 1, k);}}int main()
{vector vec;for (int i = 0; i < 20 ; i++){int r = rand() % 100;vec.push_back(r);cout << r << " ";}cout << endl;int pos = max_select_topk(vec, 0, vec.size() - 1,8);for (int i = pos; i < vec.size();++i){cout << vec[i] << " ";}cout << endl;system("pause");return 0;
}