【数学思维】数理经济中一些基本概念

• • • • 开集 open set 与闭集 closed set
      • 紧集 compact set
      • 集合有界 bounded set
      • 度量空间 metric space
      • 欧式空间 euclidean space
      • 闭包 closure
      • 上包络 upper envelope、下包络 lower envelope
      • 上极限 limit superior、下极限 limit inferior
      • 左连续、右连续、上半连续 upper semi-continuous、下半连续

• 非数学专业学生因科研需要，补充一些数分与拓扑学中的常用概念。有不准确的地方欢迎大家指正。

开集 open set 与闭集 closed set

• 内点 interior point：CCC是某个集合。如果x∈Cx\in Cx∈C并且∃ϵ>0\exist \epsilon>0∃ϵ>0使得{y:∣∣x−y∣∣≤ϵ}⊆C\{y:||x-y||\le \epsilon\}\subseteq C{y:∣∣x−y∣∣≤ϵ}⊆C，那么称xxx是集合CCC的内点。通俗点说，x∈Cx\in Cx∈C并且xxx的邻域范围内的点也在CCC内，那么xxx就是内点。
• 开集 open set：集合内的点都是内点的集合称为开集。
• 闭集 closed set：补集是开集的集合是闭集。（通过求补的方式定义，也是数学中的常见定义方式）
• 闭集有多种理解和判断方式：包含所有边界点的集合是闭集。
• 开集的定义是严格的，因此判断闭集时可以转为判断其补集是否是开集。存在集合既不是开集也不是闭集，包含部分边界点的集合既不是开集也不是闭集。比如集合(0,1](0,1](0,1]其补集[0,1)[0,1)[0,1)不满足所有点都是内点的条件（0处邻域上的点不属于[0,1)[0,1)[0,1)）故该集合与其补集既不是开集也不是闭集。
• 下图中左边是闭集（边界全部在集合里），右边是开集（边界全部不在集合里）。
  

紧集 compact set

• 开覆盖 open covering：一组开集取并之后能够将集合SSS完全覆盖，则称这一组开集为集合SSS的开覆盖。开覆盖中开集的个数可以是有限个可以是无限个。
• 有限子覆盖 finite subcovering：集合SSS的某个开覆盖中挑选其中有限个开集也构成一组开覆盖，那么称之为有限子覆盖。
• 紧集 compact set：集合SSS的任意开覆盖都存在一个有限子覆盖，那么称该集合为一个紧集。
• 从定义出发证明一个集合是紧集比较复杂，需要考虑该集合所有开覆盖的可能形式，并分别为其找到有限子覆盖。从定义出发证明一个集合不是紧集的方法是举反例，即找到一个特殊的开覆盖，证明其不存在有限子覆盖。\
• 下图中T1,T2,T3,T4,T5,T6T_1,T_2,T_3,T_4,T_5,T_6T1​,T2​,T3​,T4​,T5​,T6​便是集合SSS的一组开覆盖，并且还是个有限的开覆盖。
  

集合有界 bounded set

• 有界 bounded：如果存在一个有限大小的邻域半径MMM，使得原点处的以MMM为半径的邻域能够包裹住集合SSS，那么称集合SSS就是有界的。
• 左图中，集合SSS可以被以原点为中心的邻域包裹，因此集合SSS是有界的；有图中表示的是第一象限的所有点构成的集合，无法被以原点为中心的有限大小的邻域包裹，因此该集合无界。
  

度量空间 metric space

• 度量空间(X,d)(X,d)(X,d)包括集合XXX和对应的度量函数d:X×X→Rd:X\times X\rightarrow \mathbb{R}d:X×X→R，同时度量函数要满足以下四个公理：
  • 非负性：∀x,y∈X,d(x,y)≥0\forall x,y\in X,d(x,y)\ge 0∀x,y∈X,d(x,y)≥0
  • 非退化性：x,y∈X,d(x,y)=0⇔x=yx,y\in X,d(x,y)=0\Leftrightarrow x=yx,y∈X,d(x,y)=0⇔x=y
  • 对称性：∀x,y∈X,d(x,y)=d(y,x)\forall x,y\in X,d(x,y)=d(y,x)∀x,y∈X,d(x,y)=d(y,x)
  • 三角不等式：∀x,y,z∈X,d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)\forall x,y,z\in X,d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)∀x,y,z∈X,d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)
• 举例说明：集合XXX是所有整数，度量规定为d(x,y)=∣x−y∣d(x,y)=|x-y|d(x,y)=∣x−y∣，显然符合上述四条公理，因此(X,d)(X,d)(X,d)构成一组度量空间。简单来说，度量空间就是元素两两之间能够计算距离的集合，而距离有很多种定义方式，但必须满足上述四条公理。

欧式空间 euclidean space

• 欧氏空间 euclidean space：由nnn维实数向量构成的空间称为欧式空间，记为Rn\mathbb{R}^nRn。欧式空间与度量d(x,y)=∑i=1n(xi−yi)2d(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}d(x,y)=∑i=1n​(xi​−yi​)2​构成一个度量空间(Rn,d)(\mathbb{R}^n,d)(Rn,d)。
• 对于欧式空间中的任意两个向量x,y∈Rnx,y\in \mathbb{R}^nx,y∈Rn有如下关系：
  • x=yx=yx=y当且仅当xi=yi,∀ix_i=y_i,\forall ixi​=yi​,∀i
  • x≥yx\ge yx≥y当且仅当xi≥yi,∀ix_i\ge y_i,\forall ixi​≥yi​,∀i
  • x>yx>yx>y当且仅当x≥yx\ge yx≥y且存在某个j,xj>yjj,x_j>y_jj,xj​>yj​
  • x≫yx\gg yx≫y当且仅当xi>yi,∀ix_i>y_i,\forall ixi​>yi​,∀i
• 邻域 neighborhood：邻域定义在度量空间中。对于x∈Rn,ϵ∈Rx\in \mathbb{R}^n,\epsilon\in \mathbb{R}x∈Rn,ϵ∈R，点xxx的ϵ\epsilonϵ-邻域/ϵ\epsilonϵ-开球定义为Bϵ(x)={y∈Rn∣d(x,y)<ϵ}B_{\epsilon}(x)=\{y\in \mathbb{R}^n|d(x,y)<\epsilon\}Bϵ​(x)={y∈Rn∣d(x,y)<ϵ}。

闭包 closure

• 聚点 accumulation point：x∈Ax\in Ax∈A，点xxx的任意大小的邻域都包含除点xxx以外的其他属于集合AAA中的点，那么称点xxx为聚点。
• 孤立点 isolated point：x∈Ax\in Ax∈A，点xxx存在某个邻域其中除了点xxx自身以外不包含任何集合AAA中的点，那么称点xxx为孤立点。
• 接触点=聚点+孤立点。闭包定义为接触点的全体。
• 下图中集合D=E+{a}D=E+\{a\}D=E+{a}。点aaa存在半径很小的领域与集合DDD只相交于点aaa，因此点aaa是孤立点；点xxx的任意半径大小的邻域与集合DDD相交都不止点xxx自身，因此点xxx是聚点。
  

上包络 upper envelope、下包络 lower envelope

• 一个曲线族中的曲线同时画在坐标系中，取每个点的上确界构成了该函数族的上包络曲线，取每个点的下确界构成了该函数族的下包络曲线。

上极限 limit superior、下极限 limit inferior

• 上极限与下极限的符号表达是lim⁡inf⁡,lim⁡sup⁡\lim \inf,\lim \supliminf,limsup。这两个概念对于实值序列以及实值函数有着不同的含义。
• 对于实值序列
  lim inf⁡n→∞xn:=lim⁡n→∞(inf⁡m≥nxm)lim sup⁡n→∞xn:=lim⁡n→∞(sup⁡m≥nxm)\liminf_{n\rightarrow \infty}x_n:=\lim_{n\rightarrow \infty}(\inf_{m\ge n}x_m)\\ \limsup_{n\rightarrow \infty}x_n:=\lim_{n\rightarrow \infty}(\sup_{m\ge n}x_m)\\ n→∞liminf​xn​:=n→∞lim​(m≥ninf​xm​)n→∞limsup​xn​:=n→∞lim​(m≥nsup​xm​)
  即序列{xn}\{x_n\}{xn​}的上极限是指n→∞n\rightarrow \inftyn→∞下的上确界，下极限是指n→∞n\rightarrow \inftyn→∞下的下确界。
• 对于实值函数
  lim sup⁡x→af(x)=lim⁡ϵ→0(sup⁡{f(x):x∈E∩B(a;ϵ)\{a}})lim inf⁡x→af(x)=lim⁡ϵ→0(inf⁡{f(x):x∈E∩B(a;ϵ)\{a}})\limsup_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}(\sup \{f(x):x\in E\cap B(a;\epsilon)\backslash\{a\}\})\\ \liminf_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}(\inf \{f(x):x\in E\cap B(a;\epsilon)\backslash\{a\}\})\\ x→alimsup​f(x)=ϵ→0lim​(sup{f(x):x∈E∩B(a;ϵ)\{a}})x→aliminf​f(x)=ϵ→0lim​(inf{f(x):x∈E∩B(a;ϵ)\{a}})
  即实值函数f(x)f(x)f(x)在aaa处的上极限是aaa尽可能小的邻域内（与定义域的交集）的上确界，在aaa处的下极限是aaa尽可能小的邻域内（与定义域的交集）的下确界。
• 总之，上、下极限指的就是极限状态下的上确界与下确界，只不过不同情况下极限的定义不同，序列的极限可能是最终值，函数的极限可能是自变量逼近某个值的值。

左连续、右连续、上半连续 upper semi-continuous、下半连续

• 半连续性是数学分析领域中比连续性更弱的一种概念。如果一个函数既是上半连续的又是下半连续的，那么该函数是连续的，反之亦然。
• 上半连续与下半连续的图像如下图所示。如果某个函数在每个点都是上/下半连续的，那么该函数就是上/下半连续的。
  
• 函数f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0​处上/下半连续可以用上/下极限来表示：
  上半连续：lim sup⁡x→x0f(x)≤f(x0)下半连续：lim inf⁡x→x0f(x)≥f(x0)\text{上半连续：}\limsup_{x\rightarrow x_0}f(x)\le f(x_0)\\ \text{下半连续：}\liminf_{x\rightarrow x_0}f(x)\ge f(x_0) 上半连续：x→x0​limsup​f(x)≤f(x0​)下半连续：x→x0​liminf​f(x)≥f(x0​)