假设检验目录

• 一、假设检验的基本概念
• • 1. 假设检验的基本原理
  • 2. 两类错误
  • 3. 假设检验的一般步骤
  • 4. ppp值
• 二、正态总体参数的假设检验
• • σ2已知，检验μ与μ0的关系\color{dodgerblue}\sigma^2\text{已知，检验}\mu\text{与}\mu_0\text{的关系}σ2已知，检验μ与μ0​的关系
  • σ2未知，考察μ与μ0的关系\color{dodgerblue}\sigma^2\text{未知，考察}\mu\text{与}\mu_0\text{的关系}σ2未知，考察μ与μ0​的关系
  • μ已知，考察σ2与σ02的关系\color{dodgerblue}\mu\text{已知，考察}\sigma^2\text{与}\sigma_0^2\text{的关系}μ已知，考察σ2与σ02​的关系
  • μ未知，考察σ2与μ0的关系\color{dodgerblue}\mu\text{未知，考察}\sigma^2\text{与}\mu_0\text{的关系}μ未知，考察σ2与μ0​的关系
  • σ12,σ22已知，考察μ1−μ2与Δμ的关系\color{dodgerblue}\sigma_1^2,\sigma_2^2\text{已知，考察}\mu_1-\mu_2\text{与}\Delta\mu\text{的关系}σ12​,σ22​已知，考察μ1​−μ2​与Δμ的关系
  • σ12=σ22未知，考察μ1−μ2与Δμ的关系\color{dodgerblue}\sigma_1^2=\sigma_2^2\text{未知，考察}\mu_1-\mu_2\text{与}\Delta\mu\text{的关系}σ12​=σ22​未知，考察μ1​−μ2​与Δμ的关系
  • μ1,μ2已知，考察σ12σ22与c的关系\color{dodgerblue}\mu_1,\mu_2\text{已知，考察}\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\text{与}c\text{的关系}μ1​,μ2​已知，考察σ22​σ12​​与c的关系
  • μ1,μ2未知，考察σ12σ22与c的关系\color{dodgerblue}\mu_1,\mu_2\text{未知，考察}\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\text{与}c\text{的关系}μ1​,μ2​未知，考察σ22​σ12​​与c的关系
  • 检验统计量的记忆方法\color{limegreen}\text{检验统计量的记忆方法}检验统计量的记忆方法
  • 成对数据的假设检验\textcolor{orchid}{\text{成对数据的假设检验}}成对数据的假设检验
• 三、分布假设检验
• • 1. 分布拟合检验的概念
  • 2. 皮尔逊定理
  • 3. χ2\chi^2χ2拟合检验法
  • • (1) 理论分布F(x)F(x)F(x)完全已知的情形
    • (2) 理论分布含有未知参数的情形

一、假设检验的基本概念

假设检验：对总体提出某项假设→用样本检验假设
接受假设：认为假设正确
拒绝假设：认为假设错误

假设检验分为参数假设、分布假设

1. 假设检验的基本原理

实际推断原理：一个小概率事件在一次实验中是几乎不可能发生的
假设检验的思想：构造一个适用于检验假设H0H_0H0​的统计量（检验统计量），若假设H0H_0H0​成立则检验统计量满足一个条件（如果H0H_0H0​成立则满足条件的概率很大），现在看样本满不满足这个条件，若满足则接受H0H_0H0​，若不满足则拒绝H0H_0H0​（这表明小概率事件发生了，原假设不成立，类似于拒取式推理）。

2. 两类错误

拒绝域WWW：当检验统计量的观测值落在WWW时，拒绝H0H_0H0​
接受域W‾\overline{W}W：当检验统计量的观测值落在W‾\overline{W}W时，接受H0H_0H0​
临界值：拒绝域和接受域的临界点

两类错误：
第I类错误：H0H_0H0​为真但被拒绝了
第II类错误：H0H_0H0​为假但被接受了

显著性水平α\alphaα：犯第I类错误的概率，P{拒绝H0∣H0为真}=αP\{\text{拒绝}H_0|H_0\text{为真}\}=\alphaP{拒绝H0​∣H0​为真}=α，反映了拒绝H0H_0H0​的说服力
β\betaβ：犯第II类错误的概率，P{接受H0∣H0不真}=βP\{\text{接受}H_0|H_0\text{不真}\}=\betaP{接受H0​∣H0​不真}=β
在样本容量nnn一定的情况下，α\alphaα减小，β\betaβ就会增大

显著性检验：控制犯第I类错误的概率不超过一个值（显著性水平），不考虑第II类错误
显著性水平为α\alphaα的检验法：犯第I类错误的概率不超过α\alphaα，即P{拒绝H0∣H0为真}≤αP\{\text{拒绝}H_0|H_0\text{为真}\}\le\alphaP{拒绝H0​∣H0​为真}≤α
在所有显著性水平为α\alphaα的检验法中，犯第II类错误的概率β\betaβ最小的检验法为最好的检验法

3. 假设检验的一般步骤

(1) 充分考虑和利用已知的背景知识提出原假设H0H_0H0​即备择假设H1H_1H1​。

H1H_1H1​是H0H_0H0​的对立面，称为对立假设或备择假设。H0H_0H0​一般是“要保护的假设”或“维持现状的假设”，错误拒绝假设H0H_0H0​比错误拒绝假设H1H_1H1​带来更严重的后果。实践中，H0H_0H0​不应被轻易否定，若否定必须要有充分的理由。

(2) 确定检验统计量ZZZ，并在H0H_0H0​成立的前提下导出ZZZ的概率分布，要求ZZZ的分布不依赖于任何未知参数。

这里的ZZZ与参数估计中的枢轴量类似，选取ZZZ的原因都是为了排除未知参数的干扰，用一个确定的分布求出拒绝域。

(3) 确定拒绝域。依据直观分析先确定拒绝域的形式，然后根据给定的水平α\alphaα和ZZZ的分布，由P{拒绝H0∣H0为真}=αP\{\text{拒绝}H_0|H_0\text{为真}\}=\alphaP{拒绝H0​∣H0​为真}=α确定拒绝域的临界值，从而确定拒绝域。

确定拒绝域与参数估计中确定置信区间的过程类似。

(4) 作一次具体的抽样，根据得到的样本值和上面确定的拒绝域对H0H_0H0​作出拒绝或接受的判断。

如果ZZZ的观测值落入拒绝域WWW，则拒绝原假设H0H_0H0​，接受备择假设H1H_1H1​；若落入接受域W‾\overline{W}W，则接受原假设H0H_0H0​，拒绝备择假设H1H_1H1​。
Z∈W‾⟶H0H1Z∈W⟶H1H0Z\in\overline{W}\longrightarrow \textcolor{green}{H_0}\,\textcolor{red}{\sout{H_1}}\\ Z\in W\longrightarrow \textcolor{green}{H_1}\,\textcolor{red}{\sout{H_0}} Z∈W⟶H0​H1​​Z∈W⟶H1​H0​​

4. ppp值

ppp值：利用样本值的拒绝原假设的最小显著性水平称为ppp值。
α

在固定α\alphaα的情况下，ppp越大，越容易接受H0H_0H0​（简称“ppp越大越好”）。

我感觉，α\alphaα是一种对拒绝H0H_0H0​的“容忍度”，也就是对H0H_0H0​的“怀疑程度”；α\alphaα越小，对H0H_0H0​的怀疑程度越小，越容易接受H0H_0H0​。ppp值是对H0H_0H0​的最小“怀疑程度”，如果αα\alphaα越小，对H0H_0H0​越有信心。

用拒绝域判断的方法称为临界值法，用ppp值的叫做ppp值法。

二、正态总体参数的假设检验

检验统计量服从正态分布→u\;\to u→u检验法
检验统计量服从χ2\chi^2χ2分布→χ2\;\to \chi^2→χ2检验法
检验统计量服从ttt分布→t\;\to t→t检验法
检验统计量服从FFF分布→F\;\to F→F检验法

对于单个总体的情形，我们设X~N(μ,σ2)\newcommand{\td}{\,\text{\large\textasciitilde}\,}X\td N(\mu,\sigma^2)X~N(μ,σ2)；对于两个总体的情形，我们设X~N(μ1,σ12)\newcommand{\td}{\,\text{\large\textasciitilde}\,}X\td N(\mu_1,\sigma_1^2)X~N(μ1​,σ12​)，Y~N(μ2,σ22)\newcommand{\td}{\,\text{\large\textasciitilde}\,}Y\td N(\mu_2,\sigma_2^2)Y~N(μ2​,σ22​)。XXX的样本容量为nnn，样本方差为SX2S_X^2SX2​；YYY的样本容量为mmm，样本方差为SY2S_Y^2SY2​。

下面是单个总体的情形（X~N(μ,σ2)\newcommand{\td}{\,\text{\large\textasciitilde}\,}X\td N(\mu,\sigma^2)X~N(μ,σ2)）。

σ2已知，检验μ与μ0的关系\color{dodgerblue}\sigma^2\text{已知，检验}\mu\text{与}\mu_0\text{的关系}σ2已知，检验μ与μ0​的关系

双侧假设检验：提出假设：H0:μ=μ0H1:μ≠μ0\begin{aligned} &\textcolor{green}{H_0:\mu=\mu_0}&\\ &\textcolor{red}{H_1:\mu\ne\mu_0}& \end{aligned}​H0​:μ=μ0​H1​:μ=μ0​​​回顾一下α\alphaα是犯第一类错误的概率，即当H0H_0H0​成立时P{拒绝H0}=αP\{\text{拒绝}H_0\}=\alphaP{拒绝H0​}=α。因为只有假设H0H_0H0​成立我们才能继续分析，所以我们必须令H0H_0H0​先成立，即μ=μ0\mu=\mu_0μ=μ0​成立。此时X~N(μ0,σ2)\newcommand{\td}{\,\text{\large\textasciitilde}\,}X\td N(\mu_0,\sigma^2)X~N(μ0​,σ2)，我们给出检验统计量U=n(X‾−μ0)σ~N(0,1)\newcommand{\td}{\,\text{\large\textasciitilde}\,}U=\cfrac{\sqrt{n}\left(\overline{X}-\mu_0\right)}{\sigma}\td N(0,1)U=σn​(X−μ0​)​~N(0,1)。H0H_0H0​什么时候成立呢？就是样本均值X‾\overline{X}X与μ0\mu_0μ0​比较接近的时候成立，太离谱了就拒绝。现在我们已经假定H0H_0H0​成立了，只要保证UUU的观测值落入拒绝域的概率为α\alphaα就可以了。这和区间估计类似，因为P{U≥uα/2或U≤−uα/2}=αP\{U\ge u_{\alpha/2}\text{或}U\le-u_{\alpha/2}\}=\alphaP{U≥uα/2​或U≤−uα/2​}=α，所以拒绝的时候就是∣U∣≥uα/2|U|\ge u_{\alpha/2}∣U∣≥uα/2​的时候。对于确定的样本，我们算出样本的UUU值，然后判断∣U∣|U|∣U∣和uα/2u_{\alpha/2}uα/2​的关系就可以了。如果∣U∣≥uα/2|U|\ge u_{\alpha/2}∣U∣≥uα/2​，那么也就说在H0H_0H0​成立的条件下一个概率仅仅只有α\alphaα的事件发生了，这说明H0H_0H0​不太可能成立，所以我们拒绝H0H_0H0​。注意，UUU衡量的是X‾\overline{X}X与μ\muμ的差异，差异太大就拒绝H0H_0H0​；UUU中除以σ\sigmaσ的目的是去除量纲，进行标准化。

单侧假设检验：提出假设：H0:μ=μ0H1:μ≥μ0\begin{aligned} &\textcolor{green}{H_0:\mu=\mu_0}&\\ &\textcolor{red}{H_1:\mu\ge\mu_0}& \end{aligned}​H0​:μ=μ0​H1​:μ≥μ0​​​因为均值μ\muμ不会小于μ0\mu_0μ0​，所以U≤−uα/2U\le -u_{\alpha/2}U≤−uα/2​的拒绝域就不存在了，只剩下U≥某个值U\ge\text{某个值}U≥某个值的拒绝域。这个值是多少呢？不要忘了，UUU落入拒绝域的概率是α\alphaα，所以显然这个值是uαu_{\alpha}uα​，拒绝域为U≥uαU\ge u_{\alpha}U≥uα​。把H0\textcolor{green}{H_0}H0​改成H0:μ≤μ0\textcolor{green}{H_0:\mu\le\mu_0}H0​:μ≤μ0​，拒绝域还是一样的。

σ2未知，考察μ与μ0的关系\color{dodgerblue}\sigma^2\text{未知，考察}\mu\text{与}\mu_0\text{的关系}σ2未知，考察μ与μ0​的关系

检验统计量T=n(X‾−μ0)S~t(n−1)\newcommand{\td}{\,\text{\large\textasciitilde}\,}T=\cfrac{\sqrt{n}\left(\overline{X}-\mu_0\right)}{S}\td t(n-1)T=Sn​(X−μ0​)​~t(n−1)
拒绝域与σ2\sigma^2σ2已知时类似，就是把uαu_{\alpha}uα​换成了tα(n−1)t_{\alpha}(n-1)tα​(n−1)而已。

μ已知，考察σ2与σ02的关系\color{dodgerblue}\mu\text{已知，考察}\sigma^2\text{与}\sigma_0^2\text{的关系}μ已知，考察σ2与σ02​的关系

检验统计量χ2=∑i=1n(Xi−μ)2σ02~χ2(n)\newcommand{\td}{\,\text{\large\textasciitilde}\,}\chi^2=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{\left(X_i-\mu\right)}^2}{\sigma_0^2}\td\chi^2(n)χ2=σ02​i=1∑n​(Xi​−μ)2​~χ2(n)

μ未知，考察σ2与μ0的关系\color{dodgerblue}\mu\text{未知，考察}\sigma^2\text{与}\mu_0\text{的关系}μ未知，考察σ2与μ0​的关系

检验统计量χ2=∑i=1n(Xi−X‾)2σ02=(n−1)S2σ02~χ2(n−1)\newcommand{\td}{\,\text{\large\textasciitilde}\,}\chi^2=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{\left(X_i-\overline{X}\right)}^2}{\sigma_0^2}=\cfrac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\td\chi^2(n-1)χ2=σ02​i=1∑n​(Xi​−X)2​=σ02​(n−1)S2​~χ2(n−1)

双侧假设检验H0:σ2=σ02,H1:σ2≠μ02\textcolor{green}{H_0:\sigma^2=\sigma_0^2},\textcolor{red}{H_1:\sigma^2\ne\mu_0^2}H0​:σ2=σ02​,H1​:σ2=μ02​的拒绝域为{χ2≤χ1−α/22(n−1)}⋃{χ2≥χα/22(n−1)}\textcolor{chocolate}{\left\{\chi^2\le\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)\right\}\bigcup\left\{\chi^2\ge\chi^2_{\alpha/2}(n-1)\right\}}{χ2≤χ1−α/22​(n−1)}⋃{χ2≥χα/22​(n−1)}。

单侧假设检验H0:σ2=σ02,H1:σ2>σ02\textcolor{green}{H_0:\sigma^2=\sigma_0^2},\textcolor{red}{H_1:\sigma^2>\sigma_0^2}H0​:σ2=σ02​,H1​:σ2>σ02​的拒绝域为χ2≥χα2(n−1)\chi^2\ge\chi^2_\alpha(n-1)χ2≥χα2​(n−1)。
单侧假设检验H0:σ2=σ02,H1:σ2<σ02\textcolor{green}{H_0:\sigma^2=\sigma_0^2},\textcolor{red}{H_1:\sigma^2<\sigma_0^2}H0​:σ2=σ02​,H1​:σ2<σ02​的拒绝域为χ2≤χ1−α2(n−1)\chi^2\le\chi^2_{1-\alpha}(n-1)χ2≤χ1−α2​(n−1)。

σ12,σ22已知，考察μ1−μ2与Δμ的关系\color{dodgerblue}\sigma_1^2,\sigma_2^2\text{已知，考察}\mu_1-\mu_2\text{与}\Delta\mu\text{的关系}σ12​,σ22​已知，考察μ1​−μ2​与Δμ的关系

检验统计量U=(X‾−Y‾)−Δμσ12n+σ22m~N(0,1)\newcommand{\td}{\,\text{\large\textasciitilde}\,}U=\cfrac{\left(\overline{X}-\overline{Y}\right)-\Delta\mu}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n}+\frac{\sigma_2^2}{m}}}\td N(0,1)U=nσ12​​+mσ22​​​(X−Y)−Δμ​~N(0,1)

σ12=σ22未知，考察μ1−μ2与Δμ的关系\color{dodgerblue}\sigma_1^2=\sigma_2^2\text{未知，考察}\mu_1-\mu_2\text{与}\Delta\mu\text{的关系}σ12​=σ22​未知，考察μ1​−μ2​与Δμ的关系

检验统计量T=(X‾−Y‾)−ΔμSW1n+1m~t(n+m−2)\newcommand{\td}{\,\text{\large\textasciitilde}\,}T=\cfrac{\left(\overline{X}-\overline{Y}\right)-\Delta\mu}{S_W\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}\td t(n+m-2)T=SW​n1​+m1​​(X−Y)−Δμ​~t(n+m−2)，其中SW=(n−1)SX2+(m−1)SY2n+m−2S_W=\sqrt{\cfrac{(n-1)S_X^2+(m-1)S_Y^2}{n+m-2}}SW​=n+m−2(n−1)SX2​+(m−1)SY2​​​

μ1,μ2已知，考察σ12σ22与c的关系\color{dodgerblue}\mu_1,\mu_2\text{已知，考察}\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\text{与}c\text{的关系}μ1​,μ2​已知，考察σ22​σ12​​与c的关系

检验统计量F=∑i=1n(Xi−μ1)2n∑j=1m(Yj−μ2)2m/c=1cm∑i=1n(Xi−μ1)2n∑j=1m(Yj−μ2)2~F(n,m)\newcommand{\td}{\,\text{\large\textasciitilde}\,}F=\left.\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n\cfrac{{(X_i-\mu_1)}^2}{n}}{\sum\limits_{j=1}^m\cfrac{{(Y_j-\mu_2)}^2}{m}}\right/c=\cfrac{1}{c}\cfrac{m\sum\limits_{i=1}^n{(X_i-\mu_1)}^2}{n\sum\limits_{j=1}^m{(Y_j-\mu_2)}^2}\td F(n,m)F=j=1∑m​m(Yj​−μ2​)2​i=1∑n​n(Xi​−μ1​)2​​/c=c1​nj=1∑m​(Yj​−μ2​)2mi=1∑n​(Xi​−μ1​)2​~F(n,m)

μ1,μ2未知，考察σ12σ22与c的关系\color{dodgerblue}\mu_1,\mu_2\text{未知，考察}\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\text{与}c\text{的关系}μ1​,μ2​未知，考察σ22​σ12​​与c的关系

检验统计量F=1cSX2SY2~F(n−1,m−1)\newcommand{\td}{\,\text{\large\textasciitilde}\,}F=\cfrac{1}{c}\cfrac{S_X^2}{S_Y^2}\td F(n-1,m-1)F=c1​SY2​SX2​​~F(n−1,m−1)

注意F1−α(n,m)=1Fα(m,n)F_{1-\alpha}(n,m)=\cfrac{1}{F_{\alpha}(m,n)}F1−α​(n,m)=Fα​(m,n)1​（要干三件事情：①取倒数、②1−α1-\alpha1−α变α\alphaα、③交换n,mn,mn,m的次序）。拒绝域与χ2\chi^2χ2检验类似。

检验统计量的记忆方法\color{limegreen}\text{检验统计量的记忆方法}检验统计量的记忆方法

1. 单个变量检验均值：为了把分布标准化，我们需要排除三个因素的影响：均值（μ\muμ）、样本容量（nnn）、标准差（σ\sigmaσ或SSS），其中排除标准差也是使数据无量纲化。所以，分别对应标准差已知与未知，我们有统计量U=n(X‾−μ)σU=\cfrac{\sqrt{n}\left(\overline{X}-\mu\right)}{\sigma}U=σn​(X−μ)​和T=n(X‾−μ)ST=\cfrac{\sqrt{n}\left(\overline{X}-\mu\right)}{S}T=Sn​(X−μ)​，前者服从N(0,1)N(0,1)N(0,1)，后者服从t(n−1)t(n-1)t(n−1)。

2. 单个变量检验方差：我们的统计量应该服从卡方分布，注意χ2(n)\chi^2(n)χ2(n)的期望是nnn，所以我们要求当知道均值时我们的统计量的期望应该是nnn，不知道均值时为n−1n-1n−1。注意E[∑i=1n(Xi−μ)2]=nE[(X1−μ)2]E\left[\sum\limits_{i=1}^n{\left(X_i-\mu\right)}^2\right]=nE\left[{\left(X_1-\mu\right)}^2\right]E[i=1∑n​(Xi​−μ)2]=nE[(X1​−μ)2]，而μ=E(X1)\mu=E(X_1)μ=E(X1​)，所以根据方差的定义有E[(X1−μ)2]=σ2E\left[{\left(X_1-\mu\right)}^2\right]=\sigma^2E[(X1​−μ)2]=σ2，因此E[∑i=1n(Xi−μ)2]=nσ2E\left[\sum\limits_{i=1}^n{\left(X_i-\mu\right)}^2\right]=n\sigma^2E[i=1∑n​(Xi​−μ)2]=nσ2。同时我们知道，E(S2)=σ2E\left(S^2\right)=\sigma^2E(S2)=σ2，即E[∑i=1n(Xi−X‾)2]=(n−1)σ2E\left[\sum\limits_{i=1}^n{\left(X_i-\overline{X}\right)}^2\right]=(n-1)\sigma^2E[i=1∑n​(Xi​−X)2]=(n−1)σ2。因此，我们采用的两个检验统计量分别为∑i=1n(Xi−μ)2σ2\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{\left(X_i-\mu\right)}^2}{\sigma^2}σ2i=1∑n​(Xi​−μ)2​和∑i=1n(Xi−μ)2σ2\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n{\left(X_i-\mu\right)}^2}{\sigma^2}σ2i=1∑n​(Xi​−μ)2​，分别服从自由度为nnn和n−1n-1n−1的卡方分布。可以理解为：在我们用到的检验统计量中，量纲是平方且期望是nnn的就服从χ2(n)\chi^2(n)χ2(n)。

3. 两个变量检验均值差：注意X‾−Y‾~N(μ1−μ2,σ12n+σ22m)\newcommand{\td}{\,\text{\large\textasciitilde}\,}\overline{X}-\overline{Y}\td N\left(\mu_1-\mu_2,\frac{\sigma_1^2}{n}+\frac{\sigma_2^2}{m}\right)X−Y~N(μ1​−μ2​,nσ12​​+mσ22​​)。模仿单个变量检验均值时的情形，方差已知的情况这里不再赘述；对于方差未知的情况，要求σ12=σ22\sigma_1^2=\sigma_2^2σ12​=σ22​，为方便起见我们都记为σ2\sigma^2σ2。此时D(X‾−Y‾)=σ2(1n+1m)D\left(\overline{X}-\overline{Y}\right)=\sigma^2\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\right)D(X−Y)=σ2(n1​+m1​)，所用的检验统计量应为(X‾−Y‾)−(μ1−μ2)σ1n+1m\cfrac{\left(\overline{X}-\overline{Y}\right)-(\mu_1-\mu_2)}{\sigma\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}σn1​+m1​​(X−Y)−(μ1​−μ2​)​，但σ\sigmaσ未知，所以我们必须把σ\sigmaσ替换为一个用SXS_XSX​和SYS_YSY​表示的估计值。怎么估计呢？我们设估计σ2\sigma^2σ2的量是SW2S_W^2SW2​。首先，这个SW2S_W^2SW2​的期望必须是σ2\sigma^2σ2；其次，它除以σ2\sigma^2σ2以后必须服从χ2(n+m−2)\chi^2(n+m-2)χ2(n+m−2)（要求自由度是满的）。我们想想，∑i=1n(Xi−X‾)2+∑j=1m(Yj−Y‾)2\sum\limits_{i=1}^n{\left(X_i-\overline{X}\right)}^2+\sum\limits_{j=1}^m{\left(Y_j-\overline{Y}\right)}^2i=1∑n​(Xi​−X)2+j=1∑m​(Yj​−Y)2是什么呢？它其实就是(n−1)SX2+(m−1)SY2(n-1)S_X^2+(m-1)S_Y^2(n−1)SX2​+(m−1)SY2​，而且(n−1)SX2+(m−1)SY2σ2~χ2(n+m−2)\newcommand{\td}{\,\text{\large\textasciitilde}\,}\cfrac{(n-1)S_X^2+(m-1)S_Y^2}{\sigma^2}\td \chi^2(n+m-2)σ2(n−1)SX2​+(m−1)SY2​​~χ2(n+m−2)，E((n−1)SX2+(m−1)SY2n+m−2)=σ2E\left(\cfrac{(n-1)S_X^2+(m-1)S_Y^2}{n+m-2}\right)=\sigma^2E(n+m−2(n−1)SX2​+(m−1)SY2​​)=σ2。所以，我们就用SW=(n−1)SX2+(m−1)SY2n+m−2S_W=\sqrt{\cfrac{(n-1)S_X^2+(m-1)S_Y^2}{n+m-2}}SW​=n+m−2(n−1)SX2​+(m−1)SY2​​​来替换检验统计量中的σ\sigmaσ，得到T=(X‾−Y‾)−(μ1−μ2)SW1n+1mT=\cfrac{\left(\overline{X}-\overline{Y}\right)-(\mu_1-\mu_2)}{S_W\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}T=SW​n1​+m1​​(X−Y)−(μ1​−μ2​)​。

4. 两个变量检验方差比：其实检验统计量就是一个测得的方差比要求的方差比\cfrac{\text{测得的方差比}}{\text{要求的方差比}}要求的方差比测得的方差比​的形式。还有一种理解方式：我们知道χX2=(n−1)SX2σ12~χ2(n−1)\chi^2_X=\newcommand{\td}{\,\text{\large\textasciitilde}\,}\cfrac{(n-1)S_X^2}{\sigma_1^2}\td\chi^2(n-1)χX2​=σ12​(n−1)SX2​​~χ2(n−1)，χY2=(m−1)SY2σ22~χ2(m−1)\chi^2_Y=\newcommand{\td}{\,\text{\large\textasciitilde}\,}\cfrac{(m-1)S_Y^2}{\sigma_2^2}\td\chi^2(m-1)χY2​=σ22​(m−1)SY2​​~χ2(m−1)，根据FFF分布的性质我们知道χX2/(n−1)χY2/(m−1)~F(n−1,m−1)\newcommand{\td}{\,\text{\large\textasciitilde}\,}\cfrac{\chi^2_X/(n-1)}{\chi^2_Y/(m-1)}\td F(n-1,m-1)χY2​/(m−1)χX2​/(n−1)​~F(n−1,m−1)，也就是SX2/σ12SY2/σ22~F(n−1,m−1)\newcommand{\td}{\,\text{\large\textasciitilde}\,}\cfrac{S_X^2/\sigma_1^2}{S_Y^2/\sigma_2^2}\td F(n-1,m-1)SY2​/σ22​SX2​/σ12​​~F(n−1,m−1)。

成对数据的假设检验\textcolor{orchid}{\text{成对数据的假设检验}}成对数据的假设检验

有的时候，X1,X2,⋯,XnX_1,X_2,\cdots,X_nX1​,X2​,⋯,Xn​和Y1,Y2,⋯,YnY_1,Y_2,\cdots,Y_nY1​,Y2​,⋯,Yn​之间不一定相互独立，XiX_iXi​与YiY_iYi​之可能有很强的关联，但不同的(Xi,Yi)(X_i,Y_i)(Xi​,Yi​)之间没有关联。在这种情况下我们如何考察均值差呢？

设有nnn对相互独立的样本(X1,Y1),(X2,Y2),⋯,(Xn,Yn)(X_1,Y_1),(X_2,Y_2),\cdots,(X_n,Y_n)(X1​,Y1​),(X2​,Y2​),⋯,(Xn​,Yn​)，令Zi=Yi−Xi(i=1,2,⋯,n)Z_i=Y_i-X_i\,(i=1,2,\cdots,n)Zi​=Yi​−Xi​(i=1,2,⋯,n)，显然Z1,Z2,⋯,ZnZ_1,Z_2,\cdots,Z_nZ1​,Z2​,⋯,Zn​相互独立。设Z1,Z2,⋯,ZnZ_1,Z_2,\cdots,Z_nZ1​,Z2​,⋯,Zn​是来自总体N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)N(μ,σ2)的样本，则可以对μ\muμ进行假设检验。一般情况下σ2\sigma^2σ2是未知的，所以我们选取的检验统计量一般是T=n(X‾−μ0)ST=\cfrac{\sqrt{n}\left(\overline{X}-\mu_0\right)}{S}T=Sn​(X−μ0​)​。

三、分布假设检验

1. 分布拟合检验的概念

分布拟合检验：设(X1,X2,⋯,Xn)(X_1,X_2,\cdots,X_n)(X1​,X2​,⋯,Xn​)是来自总体XXX的样本，要根据此样本检验假设H0:X的分布函数为F(x)H1:X的分布函数不是F(x)\begin{aligned} &\textcolor{green}{H_0:X\text{的分布函数为}F(x)}&\\ &\textcolor{red}{H_1:X\text{的分布函数不是}F(x)}& \end{aligned}​H0​:X的分布函数为F(x)H1​:X的分布函数不是F(x)​​这里F(x)F(x)F(x)是理论分布函数，它可以是已知的，或是形式已知、但包含未知参数的函数。分布拟合检验就是要考察用F(x)F(x)F(x)拟合XXX的分布时，拟合的优良程度如何？

2. 皮尔逊定理

皮尔逊定理 设一个随机试验的rrr个结果A1,A2,⋯,ArA_1,A_2,\cdots,A_rA1​,A2​,⋯,Ar​构成互斥完备事件群，在一次试验中它们发生的概率分别为p1,p2,⋯,prp_1,p_2,\cdots,p_rp1​,p2​,⋯,pr​，其中pi>0(i=1,2,⋯,r)p_i>0\,(i=1,2,\cdots,r)pi​>0(i=1,2,⋯,r)，且∑i=1rpi=1\sum\limits_{i=1}^r p_i=1i=1∑r​pi​=1。以mim_imi​表示在nnn次独立重复试验中AiA_iAi​发生的次数，则当n→∞n\to\inftyn→∞时随机变量χ2=∑i=1r(mi−npi)2npi\chi^2=\sum\limits_{i=1}^r \cfrac{{(m_i-np_i)}^2}{np_i}χ2=i=1∑r​npi​(mi​−npi​)2​的分布收敛于自由度为r−1r-1r−1的χ2\chi^2χ2分布。

3. χ2\chi^2χ2拟合检验法

(1) 理论分布F(x)F(x)F(x)完全已知的情形

设X1,X2,⋯,XnX_1,X_2,\cdots,X_nX1​,X2​,⋯,Xn​是来自总体XXX的样本，F(x)F(x)F(x)是一个完全已知的分布函数，在显著性水平α\alphaα下，检验假设H0:X的分布函数为F(x)H1:X的分布函数不是F(x)\begin{aligned} &\textcolor{green}{H_0:X\text{的分布函数为}F(x)}&\\ &\textcolor{red}{H_1:X\text{的分布函数不是}F(x)}& \end{aligned}​H0​:X的分布函数为F(x)H1​:X的分布函数不是F(x)​​方法如下：

1. 将总体XXX的取值范围划分为rrr个互不相交的子集（区间）A1,A2,⋯,ArA_1,A_2,\cdots,A_rA1​,A2​,⋯,Ar​，则其构成互斥完备事件群（rrr不大，nnn很大）。注意，样本容量较大，一般n≥50n\ge 50n≥50；分组时每个区间所含样本数mi≥5m_i\ge 5mi​≥5。
2. 在H0H_0H0​成立的前提下，计算事件AiA_iAi​的频率为P(Ai)=piP(A_i)=p_iP(Ai​)=pi​，则事件AiA_iAi​发生的频数为npinp_inpi​。
3. 统计出样本值x1,x2,⋯,xnx_1,x_2,\cdots,x_nx1​,x2​,⋯,xn​中，事件AiA_iAi​发生的实际频率mim_imi​。
4. 在显著性水平α\alphaα下，考虑统计量χ2=∑i=1r(mi−npi)2npi\chi^2=\sum\limits_{i=1}^r \cfrac{{(m_i-np_i)}^2}{np_i}χ2=i=1∑r​npi​(mi​−npi​)2​。如果数据确实服从F(x)F(x)F(x)规定的分布，那么χ2\chi^2χ2应该越小越好，所以它的拒绝域应该是χ2\chi^2χ2大于等于某个数的形式。因此，拒绝域为χ2≥χα2(r−1)\chi^2\ge\chi^2_{\alpha}(r-1)χ2≥χα2​(r−1)。

(2) 理论分布含有未知参数的情形

设理论分布为F(x;θ1,θ2,⋯,θl)F(x;\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_l)F(x;θ1​,θ2​,⋯,θl​)，其中θ1,θ2,⋯,θl\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_lθ1​,θ2​,⋯,θl​是未知参数。我们要先干两件事情，然后继续进行理论分布已知时的过程：

1. 根据样本X1,X2,⋯,XnX_1,X_2,\cdots,X_nX1​,X2​,⋯,Xn​求出θ1,θ2,⋯,θl\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_lθ1​,θ2​,⋯,θl​的最大似然估计值θ^1,θ^2,⋯,θ^l\hat{\theta}_1,\hat{\theta}_2,\cdots,\hat{\theta}_lθ^1​,θ^2​,⋯,θ^l​，然后把F(x;θ^1,θ^2,⋯,θ^l)F(x;\hat{\theta}_1,\hat{\theta}_2,\cdots,\hat{\theta}_l)F(x;θ^1​,θ^2​,⋯,θ^l​)当作完全已知的分布函数处理；
2. 千万别忘了把χ2\chi^2χ2的自由度改为r−l−1r-l-1r−l−1！！！这是对皮尔逊定理的修正。拒绝域为χ2≥χα2(r−l−1)\chi^2\ge\chi^2_\alpha(r-l-1)χ2≥χα2​(r−l−1)。可以理解为，我们需要从nnn个样本中抽出lll个来弥补参数的未知，这造成了自由度的损失，所以最后自由度变成了r−l−1r-l-1r−l−1。